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Salve a tutti, mi stavo imbattendo nella definizione di un punto in cui la funzione continua. Essa prevede che la continuità è verificata in un punto $ x0 $ del dominio in cui $ lim_(x -> x0) f(x)=f(x0) $. Ma per quanto riguarda i punti di frontiera (non isolati, ovviamente), come bisogna comportarsi? Perché ad esempio, io ho letto che la funzione $ y=sqrt(x) $ è continua nel suo dominio, tuttavia nel punto $ x0=0 $ , il limite non esiste, perciò mi chiedevo se in questo caso, fosse sufficiente la sola esistenza del limite destro, il cui valore coincide con $ f(x0) $ .

Ma l'hai detto tu stesso all'inizio, $x_0$ deve appartenere al dominio.
Il limite di $\sqrt{x}$ per $x\to 0$ esiste eccome ed è $0$, i limiti si fanno per punti appartenenti al dominio della funzione in esame.

Forse intendeva dire che il limite non esiste perché in quel punto esiste solo il limite destro …

axpgn ha scritto:Forse intendeva dire che il limite non esiste perché in quel punto esiste solo il limite destro …

Esatto. $ lim_(x -> 0) sqrt(x) $ come fa ad essere uguale a 0? Lo è soltanto in un intorno destro, visto che a sinistra di quel punto la funzione non è mai definita. Ricordatevi che il limite di una funzione esiste se e solo se esistono il limite destro e il limite sinistro, e coincidono. Anche se, effettivamente questo è un caso borderline, perché in effetti tutti i punti del dominio che appartengono ad un intorno di $ x0 $, rispettano i requisiti richiesti, ma allora bisognerebbe dire che la relazione $ lim_(x -> c+)f(x)=lim_(x -> c-)f(x)=lim_(x -> c)f(x) $ , è valida solo nei punti interni al dominio, cosa che non ho letto in nessun testo. Insomma, le definizioni entrano in conflitto fra loro.

Concordo con l'interpretazione di Alex... Cioè secondo me l'OP dice che $\lim_{x \to 0} \sqrt{x} $ non esiste perché $\lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} = 0 $ e non esiste $ \lim_{x \to 0^-} \sqrt{x} $. Ma non ha proprio senso porsi la domanda se una funzione è continua dove non è definita (Il settore 7 non esiste... E noi non prendiamo ordini da quelli che non esistono. Cit. dal film... )
Nel caso citato si ha $ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} = f(0) = 0 $ e si parla di continuità della funzione a destra di $0$, che è dove è definita la funzione e quindi il solo campo dove può avere un senso indagare sulla sua continuità.

Daken97 ha scritto:… è valida solo nei punti interni al dominio, cosa che non ho letto in nessun testo. Insomma, le definizioni entrano in conflitto fra loro.

Mah, non mi pare … in tutti i libri che ho letto si parla di limite destro e sinistro e poi di limite, idem per la continuità … come è stato detto più e più volte in questo sito (ma anche nei libri) non ha senso parlare di continuità di una funzione dove non è definita … quello che confonde, spesso, è la nozione di "discontinuità" che viene data nelle superiori perché la si definisce anche fuori dal dominio (errando); da ciò nasce la conclusione sbagliata che se una funzione può essere discontinua fuori dal dominio allora potrebbe anche essere continua fuori dal dominio … IMHO

Cordialmente, Alex

pilloeffe ha scritto:Concordo con l'interpretazione di Alex... Cioè secondo me l'OP dice che $\lim_{x \to 0} \sqrt{x} $ non esiste perché $\lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} = 0 $ e non esiste $ \lim_{x \to 0^-} \sqrt{x} $. Ma non ha proprio senso porsi la domanda se una funzione è continua dove non è definita (Il settore 7 non esiste... E noi non prendiamo ordini da quelli che non esistono. Cit. dal film... )
Nel caso citato si ha $ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} = f(0) = 0 $ e si parla di continuità della funzione a destra di $0$, che è dove è definita la funzione e quindi il solo campo dove può avere un senso indagare sulla sua continuità.

Il fatto è che, anche $ lim_(x -> 0)sqrt(x) $ è ambiguo... perché da un lato, la funzione a sinistra di $ x0 $ non è definita per valori reali, ma d'altra parte, la definizione di limite richiede di prendere in considerazione solo i punti di un intorno completo di $ x0 $ che appartengono al dominio. Come ho scritto sopra, ci sono alcune definizioni che entrano in conflitto fra loro.

Daken97 ha scritto:Come ho scritto sopra, ci sono alcune definizioni che entrano in conflitto fra loro.

Riportale qui, citando anche la fonte e poi ne riparliamo

axpgn ha scritto:

Daken97 ha scritto:Come ho scritto sopra, ci sono alcune definizioni che entrano in conflitto fra loro.

Riportale qui, citando anche la fonte e poi ne riparliamo

1) $ lim_(x -> c) f(x)=l $ se e solo se $ lim_(x -> c-)f(x)=lim_(x ->c+)f(x)=l $

2) D'altra parte, come ho scritto più volte, nella definizione di limite è richiesto di prendere in considerazione solo i punti di un intorno di $ x0 $ che appartengono al dominio, perciò $ lim_(x -> 0)sqrt(x) $ può essere uguale a 0, nonostante non esista il limite sinistro.

Non ho chiesto questo; riporta le fonti in contrasto anzi cita il riferimento così da poterle confrontare, contesto compreso.