Re: Continuità di una funzione

Messaggioda Daken97 » 12/05/2020, 13:31

axpgn ha scritto:Non ho chiesto questo; riporta le fonti in contrasto anzi cita il riferimento così da poterle confrontare, contesto compreso.


Aspetta, credo ci sia stato un malinteso. Io non intendevo che una fonte citasse "A" e l'altra "B", ma semplicemente che quelle due affermazioni fra loro entrassero in conflitto, per ovvi motivi. Nella fattispecie, se è possibile dimostrare che $ lim_(x -> 0) sqrt(x)=0 $, come può essere vera l'affermazione al punto 1, se il limite sinistro di tale funzione non esiste?
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Re: Continuità di una funzione

Messaggioda axpgn » 12/05/2020, 13:57

In quale contesto è stato scritto che "è possibile dimostrare che esiste $lim_(x->0) sqrt(x) = 0$" ?
Comunque, anche se fosse successo, probabilmente è solo un abuso di notazione, il cui "vero" significato è facilmente desumibile dal contesto … IMHO

È per quello che sarebbe utile confrontarsi sulle fonti "originali" …
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Re: Continuità di una funzione

Messaggioda Daken97 » 12/05/2020, 14:11

axpgn ha scritto:In quale contesto è stato scritto che "è possibile dimostrare che esiste $lim_(x->0) sqrt(x) = 0$" ?
Comunque, anche se fosse successo, probabilmente è solo un abuso di notazione, il cui "vero" significato è facilmente desumibile dal contesto … IMHO

È per quello che sarebbe utile confrontarsi sulle fonti "originali" …


Perché se leggi la definizione di limite (in qualunque testo), ti accorgi che la condizione | $ f(x)-l $ |< $ xi $ , deve essere verificata per i valori che appartengono contemporaneamente ad un intorno di $ x0 $ e al dominio della funzione, perciò tale limite è verificato. $ x0=0 $ in questo caso è un punto di accumulazione particolare, poiché non è né interno e né isolato, bensì di frontiera.
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Re: Continuità di una funzione

Messaggioda axpgn » 12/05/2020, 14:20

Non è "esattamente" così … in tutti i testi che ho visto si introducono sempre anche le definizioni di limite destro e sinistro e poi quella di limite … magari talvolta l'ordine di presentazione è inverso ma ci sono sempre le due definizioni, proprio per evitare che nascano dubbi come i tuoi …
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Re: Continuità di una funzione

Messaggioda Daken97 » 12/05/2020, 14:25

axpgn ha scritto:Non è "esattamente" così … in tutti i testi che ho visto si introducono sempre anche le definizioni di limite destro e sinistro e poi quella di limite … magari talvolta l'ordine di presentazione è inverso ma ci sono sempre le due definizioni, proprio per evitare che nascano dubbi come i tuoi …


Nel mio libro di testo no, ma anche in altri siti. Resta sempre il fatto che se tengo fede a quella definizione, quel limite è verificato, perché comunque scelgo un intorno di $ x0 $, qualunque valore che appartiene contemporaneamente all'intorno e al dominio della funzione (quindi sono esclusi i valori a sinistra di 0, almeno nel caso di $ y=sqrt(x) $ ) rispetta la condizione | $ f(x)-l|<xi $.
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Re: Continuità di una funzione

Messaggioda gugo82 » 12/05/2020, 15:45

Definizione di limite (uguale da Weierstrass in poi, su qualsiasi testo degno di questo nome):
Siano $X sube RR$ non vuoto, $f:X -> RR$, $x_0 in RR$ un punto di accumulazione per $X$ ed $l in RR$.

Si dice che $f$ ha limite $l$, ovvero che $f$ converge ad $l$, per $x$ che tende ad $x_0$ se e solo se:

$AA epsilon >0,\ EE delta >0:\ AA x in X nn ]x_0 - delta, x_0 + delta[ - \{ x_0\},\ |f(x) - l| < epsilon$;

in tal caso si scrive $lim_(x -> x_0) f(x) = l$.

Definizione di limite unilaterale:
Siano $X sube RR$ non vuoto, $f:X -> RR$, $x_0 in RR$ un punto di accumulazione per $X$ da sinistra1 ed $l in RR$.

Si dice che $f$ ha limite $l$, ovvero che $f$ converge ad $l$, per $x$ che tende ad $x_0$ da sinistra se e solo se:

$AA epsilon >0,\ EE delta >0:\ AA x in X nn ]x_0 - delta, x_0[,\ |f(x) - l| < epsilon$;

in tal caso si scrive $lim_(x -> x_0^(-)) f(x) = l$.

Siano $X sube RR$ non vuoto, $f:X -> RR$, $x_0 in RR$ un punto di accumulazione per $X$ da destra2 ed $l in RR$.

Si dice che $f$ ha limite $l$, ovvero che $f$ converge ad $l$, per $x$ che tende ad $x_0$ da destra se e solo se:

$AA epsilon >0,\ EE delta >0:\ AA x in X nn ]x_0 , x_0 + delta[,\ |f(x) - l| < epsilon$;

in tal caso si scrive $lim_(x -> x_0^+) f(x) = l$.


Facile esercizio:
Dimostrare i seguenti fatti:

  1. se $x_0$ è un p.d.a. per $X$ solo da sinistra, allora $lim_(x-> x_0) f(x) = l$ se e solo se $lim_(x -> x_0^(-)) f(x) = l$;

  2. se $x_0$ è un p.d.a. per $X$ solo da destra, allora $lim_(x-> x_0) f(x) = l$ se e solo se $lim_(x -> x_0^+) f(x) = l$;

  3. se $x_0$ è un p.d.a. per $X$ da entrambi i lati, allora $lim_(x-> x_0) f(x) = l$ se e solo se $lim_(x -> x_0^(-)) f(x) = l = lim_(x -> x_0^+) f(x)$.


Morale della favola: se non si conoscono le definizioni, accade sovente di vedere contraddizioni lì dove non ce ne sono da secoli.

Note

  1. Ciò significa che $x_0$ è di accumulazione per l'insieme $X nn ]-oo, x_0[$.
  2. Ciò significa che $x_0$ è di accumulazione per l'insieme $X nn ]x_0, +oo[$.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
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Re: Continuità di una funzione

Messaggioda Daken97 » 12/05/2020, 17:21

gugo82 ha scritto:Definizione di limite (uguale da Weierstrass in poi, su qualsiasi testo degno di questo nome):
Siano $X sube RR$ non vuoto, $f:X -> RR$, $x_0 in RR$ un punto di accumulazione per $X$ ed $l in RR$.

Si dice che $f$ ha limite $l$, ovvero che $f$ converge ad $l$, per $x$ che tende ad $x_0$ se e solo se:

$AA epsilon >0,\ EE delta >0:\ AA x in X nn ]x_0 - delta, x_0 + delta[ - \{ x_0\},\ |f(x) - l| < epsilon$;

in tal caso si scrive $lim_(x -> x_0) f(x) = l$.

Definizione di limite unilaterale:
Siano $X sube RR$ non vuoto, $f:X -> RR$, $x_0 in RR$ un punto di accumulazione per $X$ da sinistra1 ed $l in RR$.

Si dice che $f$ ha limite $l$, ovvero che $f$ converge ad $l$, per $x$ che tende ad $x_0$ da sinistra se e solo se:

$AA epsilon >0,\ EE delta >0:\ AA x in X nn ]x_0 - delta, x_0[,\ |f(x) - l| < epsilon$;

in tal caso si scrive $lim_(x -> x_0^(-)) f(x) = l$.

Siano $X sube RR$ non vuoto, $f:X -> RR$, $x_0 in RR$ un punto di accumulazione per $X$ da destra2 ed $l in RR$.

Si dice che $f$ ha limite $l$, ovvero che $f$ converge ad $l$, per $x$ che tende ad $x_0$ da destra se e solo se:

$AA epsilon >0,\ EE delta >0:\ AA x in X nn ]x_0 , x_0 + delta[,\ |f(x) - l| < epsilon$;

in tal caso si scrive $lim_(x -> x_0^+) f(x) = l$.


Facile esercizio:
Dimostrare i seguenti fatti:

  1. se $x_0$ è un p.d.a. per $X$ solo da sinistra, allora $lim_(x-> x_0) f(x) = l$ se e solo se $lim_(x -> x_0^(-)) f(x) = l$;

  2. se $x_0$ è un p.d.a. per $X$ solo da destra, allora $lim_(x-> x_0) f(x) = l$ se e solo se $lim_(x -> x_0^+) f(x) = l$;

  3. se $x_0$ è un p.d.a. per $X$ da entrambi i lati, allora $lim_(x-> x_0) f(x) = l$ se e solo se $lim_(x -> x_0^(-)) f(x) = l = lim_(x -> x_0^+) f(x)$.


Morale della favola: se non si conoscono le definizioni, accade sovente di vedere contraddizioni lì dove non ce ne sono da secoli.


Il problema sono alcuni libri di testo e alcune fonti, appunto. Sul mio (ho acquistato quello che mi è stato indicato), viene asserito che le nozioni di limite destro e limite sinistro, valgono per qualunque punto di accumulazione, idem la relazione dell'uguaglianza fra il limite destro e il limite sinistro. Alla luce di queste considerazioni, possiamo concludere che sul libro evidentemente ci sono degli errori, e che $ lim_(x -> 0)sqrt(x)=0 $.




P.s. Viceversa, quest'altra fonte conferma le definizioni di Gugo82, che evidentemente sono quelle corrette.

http://calvino.polito.it/~rolando/1314A ... miti_1.pdf

Note

  1. Ciò significa che $x_0$ è di accumulazione per l'insieme $X nn ]-oo, x_0[$.
  2. Ciò significa che $x_0$ è di accumulazione per l'insieme $X nn ]x_0, +oo[$.
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Re: Continuità di una funzione

Messaggioda axpgn » 12/05/2020, 17:28

Continui a ripetere che sul tuo libro ci sono degli errori; va bene, ti crediamo, ma perché non ci dici qual è? :wink:
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Re: Continuità di una funzione

Messaggioda gugo82 » 12/05/2020, 17:29

In realtà, se un punto di accumulazione è di accumulazione solo da un lato (e.g. da destra) la definizione di limite dall'altro lato (e.g. da sinistra) funziona lo stesso, ma è "vuota" (perché non c'è nessun $x in X nn ]x_0- delta, x_0[$).

Quindi non c'è una definizione "giusta" ed una sbagliata; c'è solo la volontà di scrivere le cose in maniera più o meno compatta, più o meno immediata.
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Re: Continuità di una funzione

Messaggioda Daken97 » 12/05/2020, 17:53

axpgn ha scritto:Continui a ripetere che sul tuo libro ci sono degli errori; va bene, ti crediamo, ma perché non ci dici qual è? :wink:


Diciamo che c'è una imprecisione, dovuta al fatto che la relazione $ lim_(x -> c)f(x)=l hArr lim_(x -> c-)f(x)=lim_(x -> c+)f(x)=l $ è valida quando la funzione è definita in un intorno completo di $ x0 $... mentre sul libro viene citato un punto di accumulazione qualsiasi. Poi, come ha detto Gugo, potremmo anche accettarla, però secondo me ha poco senso parlare di limite sinistro in un punto in cui la funzione è definita soltanto in un intorno destro, perciò mi sembrano molto più precise le definizioni che ha proposto lui.

E comunque, tornando alla domanda originaria, se $ lim_(x -> 0)sqrt(x)=0 $, non c'e proprio ombra di dubbio, la funzione $ y=sqrt(x $ è continua.
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