12/05/2020, 13:31
axpgn ha scritto:Non ho chiesto questo; riporta le fonti in contrasto anzi cita il riferimento così da poterle confrontare, contesto compreso.
12/05/2020, 13:57
12/05/2020, 14:11
axpgn ha scritto:In quale contesto è stato scritto che "è possibile dimostrare che esiste $lim_(x->0) sqrt(x) = 0$" ?
Comunque, anche se fosse successo, probabilmente è solo un abuso di notazione, il cui "vero" significato è facilmente desumibile dal contesto … IMHO
È per quello che sarebbe utile confrontarsi sulle fonti "originali" …
12/05/2020, 14:20
12/05/2020, 14:25
axpgn ha scritto:Non è "esattamente" così … in tutti i testi che ho visto si introducono sempre anche le definizioni di limite destro e sinistro e poi quella di limite … magari talvolta l'ordine di presentazione è inverso ma ci sono sempre le due definizioni, proprio per evitare che nascano dubbi come i tuoi …
12/05/2020, 15:45
Siano $X sube RR$ non vuoto, $f:X -> RR$, $x_0 in RR$ un punto di accumulazione per $X$ ed $l in RR$.
Si dice che $f$ ha limite $l$, ovvero che $f$ converge ad $l$, per $x$ che tende ad $x_0$ se e solo se:
$AA epsilon >0,\ EE delta >0:\ AA x in X nn ]x_0 - delta, x_0 + delta[ - \{ x_0\},\ |f(x) - l| < epsilon$;
in tal caso si scrive $lim_(x -> x_0) f(x) = l$.
Siano $X sube RR$ non vuoto, $f:X -> RR$, $x_0 in RR$ un punto di accumulazione per $X$ da sinistra1 ed $l in RR$.
Si dice che $f$ ha limite $l$, ovvero che $f$ converge ad $l$, per $x$ che tende ad $x_0$ da sinistra se e solo se:
$AA epsilon >0,\ EE delta >0:\ AA x in X nn ]x_0 - delta, x_0[,\ |f(x) - l| < epsilon$;
in tal caso si scrive $lim_(x -> x_0^(-)) f(x) = l$.
Siano $X sube RR$ non vuoto, $f:X -> RR$, $x_0 in RR$ un punto di accumulazione per $X$ da destra2 ed $l in RR$.
Si dice che $f$ ha limite $l$, ovvero che $f$ converge ad $l$, per $x$ che tende ad $x_0$ da destra se e solo se:
$AA epsilon >0,\ EE delta >0:\ AA x in X nn ]x_0 , x_0 + delta[,\ |f(x) - l| < epsilon$;
in tal caso si scrive $lim_(x -> x_0^+) f(x) = l$.
Dimostrare i seguenti fatti:
- se $x_0$ è un p.d.a. per $X$ solo da sinistra, allora $lim_(x-> x_0) f(x) = l$ se e solo se $lim_(x -> x_0^(-)) f(x) = l$;
- se $x_0$ è un p.d.a. per $X$ solo da destra, allora $lim_(x-> x_0) f(x) = l$ se e solo se $lim_(x -> x_0^+) f(x) = l$;
- se $x_0$ è un p.d.a. per $X$ da entrambi i lati, allora $lim_(x-> x_0) f(x) = l$ se e solo se $lim_(x -> x_0^(-)) f(x) = l = lim_(x -> x_0^+) f(x)$.
12/05/2020, 17:21
gugo82 ha scritto:Definizione di limite (uguale da Weierstrass in poi, su qualsiasi testo degno di questo nome):Siano $X sube RR$ non vuoto, $f:X -> RR$, $x_0 in RR$ un punto di accumulazione per $X$ ed $l in RR$.
Si dice che $f$ ha limite $l$, ovvero che $f$ converge ad $l$, per $x$ che tende ad $x_0$ se e solo se:
$AA epsilon >0,\ EE delta >0:\ AA x in X nn ]x_0 - delta, x_0 + delta[ - \{ x_0\},\ |f(x) - l| < epsilon$;
in tal caso si scrive $lim_(x -> x_0) f(x) = l$.
Definizione di limite unilaterale:Siano $X sube RR$ non vuoto, $f:X -> RR$, $x_0 in RR$ un punto di accumulazione per $X$ da sinistra1 ed $l in RR$.
Si dice che $f$ ha limite $l$, ovvero che $f$ converge ad $l$, per $x$ che tende ad $x_0$ da sinistra se e solo se:
$AA epsilon >0,\ EE delta >0:\ AA x in X nn ]x_0 - delta, x_0[,\ |f(x) - l| < epsilon$;
in tal caso si scrive $lim_(x -> x_0^(-)) f(x) = l$.Siano $X sube RR$ non vuoto, $f:X -> RR$, $x_0 in RR$ un punto di accumulazione per $X$ da destra2 ed $l in RR$.
Si dice che $f$ ha limite $l$, ovvero che $f$ converge ad $l$, per $x$ che tende ad $x_0$ da destra se e solo se:
$AA epsilon >0,\ EE delta >0:\ AA x in X nn ]x_0 , x_0 + delta[,\ |f(x) - l| < epsilon$;
in tal caso si scrive $lim_(x -> x_0^+) f(x) = l$.
Facile esercizio:Dimostrare i seguenti fatti:
- se $x_0$ è un p.d.a. per $X$ solo da sinistra, allora $lim_(x-> x_0) f(x) = l$ se e solo se $lim_(x -> x_0^(-)) f(x) = l$;
- se $x_0$ è un p.d.a. per $X$ solo da destra, allora $lim_(x-> x_0) f(x) = l$ se e solo se $lim_(x -> x_0^+) f(x) = l$;
- se $x_0$ è un p.d.a. per $X$ da entrambi i lati, allora $lim_(x-> x_0) f(x) = l$ se e solo se $lim_(x -> x_0^(-)) f(x) = l = lim_(x -> x_0^+) f(x)$.
Morale della favola: se non si conoscono le definizioni, accade sovente di vedere contraddizioni lì dove non ce ne sono da secoli.
12/05/2020, 17:28
12/05/2020, 17:29
12/05/2020, 17:53
axpgn ha scritto:Continui a ripetere che sul tuo libro ci sono degli errori; va bene, ti crediamo, ma perché non ci dici qual è?
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