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Ciao ragazzi devo decomporre questa funzione razionale:

$((y^2+1)^2)/(2y^2(y^2-1))$

Siccomme il grado al numeratore e il grado al denominatore coincidono ho pensato di operare una divisione di polinomi, ma il metodo che ho utilizzato mi sembra essere diverso da quello scelto dal professore e anche il mio risultato è ovviamente diverso.

Il risultato deve dare:

$1/2-1/(2y^2)+1/(y-1)-1/(y+1)$

Che logica è stata seguita? Grazie

Perché ti importa la logica seguita da altri?
Sei tu a dover svolgere l'esercizio, non gli altri... Quindi dovresti focalizzarti sulla tua logica e sui suoi eventuali errori.

In parole povere, mostra i tuoi calcoli.

gugo82 ha scritto:Perché ti importa la logica seguita da altri?
Sei tu a dover svolgere l'esercizio, non gli altri... Quindi dovresti focalizzarti sulla tua logica e sui suoi eventuali errori.

In parole povere, mostra i tuoi calcoli.

$Quoziente: 1/2$
$Resto: 3y^2+1$

Unendoli quindi:

$1/2+(3y^2+1)/((2y^2)(y^2-1))$

E basta?

Sai cos'è una scomposizione in fratti semplici?
Ti pare una scomposizione in fratti semplici quella che hai ottenuto?

Appunto che non lo è, sto chiedendo aiuto per quello pechè solo la divisione polinomiale non è sufficiente

Ah, quindi quello di cui hai bisogno per capire "che logica è stata seguita" è studiare il metodo di scomposizione in fratti semplici.
Vedi qui, par. 1.

Ok sono riuscito a risolvere la decomposizione coi vari metodi.
Questa mi serviva poi per integrarla e ho trovato un problema anche qui.

$\int_{1+sqrt(3)}^{2+sqrt(5)} 1/2-1/(2y^2)+1/(y-1)-1/(y+1)dy=$
$=[1/2y+1/(2y)+log(y-1)-log(y+1)]=$
$={[sqrt(5)+1/(4+2sqrt(5))+log((2+sqrt(5)-1)/(2+sqrt(5)+1))]-[(1+sqrt(2))/2+1/(2+2sqrt(2))+log((sqrt(2))/(2+sqrt(2)))]}$

Il risultato dovrebbe invece essere:

$sqrt(5)-sqrt(2)+log(((sqrt(2)+1)(sqrt(5)-1))/2)$

Ciao smule98,

Sei sicuro della correttezza degli estremi di integrazione? Quel $sqrt3 $ del primo estremo non è invece un $sqrt2$?
Prova così:

$ [1/2y+1/(2y)+log((y-1)/(y + 1))]_{1 + sqrt2}^{2 + sqrt5} $

Si scusami ho solo sbagliato nell'inserimento qui nel sito, nei calcoli vedi che poi ho usato il $sqrt(2)$
Ho già provato a proseguire così

Tenendo presente le proprietà dei logaritmi e dopo un po' di razionalizzazioni a me invece torna proprio il risultato che hai riportato:

$\int_{1+\sqrt(2)}^{2+\sqrt(5)} (1/2-1/(2y^2)+1/(y-1)-1/(y+1))\text{d}y = [1/2y+1/(2y)+log(y-1)-log(y+1)]_{1+\sqrt(2)}^{2+\sqrt(5)} = $
$ = ... = \sqrt(5) - \sqrt(2) - log(\sqrt2) + log(2 + sqrt(2)) + log(1 + sqrt(5)) - log(3 + sqrt(5)) = $
$ = \sqrt(5) - \sqrt(2) + log[((\sqrt5 + 1)(\sqrt2 + 2))/(\sqrt2(3 + sqrt(5)))] = \sqrt(5) - \sqrt(2) + log[((\sqrt5 + 1)(\sqrt2 + 1))/((3 + sqrt(5)))] = $
$ = \sqrt(5) - \sqrt(2) + log[((\sqrt2 + 1)(\sqrt5 + 1)(3 - \sqrt5))/((3 + sqrt(5))(3 - sqrt5))] = $
$ = \sqrt(5) - \sqrt(2) + log[((\sqrt2 + 1)(3\sqrt5 - 5 + 3 - \sqrt5))/4] = $
$ = \sqrt(5) - \sqrt(2) + log[((\sqrt2 + 1)(2\sqrt5 - 2))/4] = \sqrt(5) - \sqrt(2) + log[((\sqrt2 + 1)(\sqrt5 - 1))/2] $