Limite del rapporto incrementale e limite delle derivate

Salve! Vorrei sapere quando usare, per trovare i punti di non derivabilità, il limite del rapporto incrementale e quando i limiti delle derivate destro e sinistro. So che esiste un teorema che collega limite del rapporto incrementale al limite delle derivate da cui emergono le condizioni che devono sussistere per fare il limite delle derivate. Qual è? Potreste esplicarlo in questa discussione?

A proposito, vorrei anche degli indizi per risolvere il limite del rapporto incrementale della funzione $root(3)(x+1)/root(3)(x^2+4)$ dove $x_0$=$1^+-$. Quindi: $\lim_{x \to \x_0}(f(x) - f(x_0))/(x - x_0)$

Salve! Vorrei sapere quando usare, per trovare i punti di non derivabilità, il limite del rapporto incrementale e quando i limiti delle derivate destro e sinistro. So che esiste un teorema che collega limite del rapporto incrementale al limite delle derivate da cui emergono le condizioni che devono sussistere per fare il limite delle derivate. Qual è? Potreste esplicarlo in questa discussione?

Il tuo libro di testo che dice in proposito?

A proposito, vorrei anche degli indizi per risolvere il limite del rapporto incrementale della funzione $root(3)(x+1)/root(3)(x^2+4)$ dove $x_0$=$1^+-$. Quindi: $\lim_{x \to \x_0}(f(x) - f(x_0))/(x - x_0)$

Beh... 1° indizio: scrivi il rapporto incrementale.
2° indizio: fai i calcoli.

Sul "Bramanti, Pagani, Salsa" non ho letto di questo teorema. Da quello che ho letto nelle discussioni su questo forum e altri potrebbe essere il teorema di Darboux, giusto?
Comunque sul limite cerco di trovare la giusta strada, faccio i calcoli e se continuano ad esserci problemi riscrivo.

Ciao sequence95,

Per quanto riguarda il limite proposto i calcoli sono abbastanza noiosi, ma sostanzialmente si tratta solo di de-razionalizzare sfruttando la ben nota relazione $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) $ ove nel caso in esame $a := root(3){(x+1)/(x^2+4)} $ e $b := root(3){2/5} $, infatti posto $f(x) := root(3){(x+1)/(x^2+4)} $, si ha:

$ \lim_{x \to \x_0}(f(x) - f(x_0))/(x - x_0) = \lim_{x \to 1}(root(3){(x+1)/(x^2+4)} - root(3){2/5} )/(x - 1) = $
$ = \lim_{x \to 1}((x+1)/(x^2+4) - 2/5)/((x - 1)(root(3){((x+1)/(x^2+4))^2} + root(3){(x+1)/(x^2+4)}root(3){2/5} + root(3){(2/5)^2})) = $
$ = \lim_{x \to 1}((-(x-1)(2x - 3))/(5(x^2+4)))/((x - 1)(root(3){((x+1)/(x^2+4))^2} + root(3){(x+1)/(x^2+4)}root(3){2/5} + root(3){(2/5)^2})) = $
$ = \lim_{x \to 1}((3 - 2x)/(5(x^2+4)))/(root(3){((x+1)/(x^2+4))^2} + root(3){(x+1)/(x^2+4)}root(3){2/5} + root(3){(2/5)^2}) = $
$ = (1/25)/(root(3){4/25} + root(3){2/5}root(3){2/5} + root(3){4/25}) = (1/25)/(3 root(3){4/25}) = 1/(75 root(3){4/25}) = $
$ = 1/(15 root(3){20}) $

C'è stato un errore: $x_0=-1^+-$, quindi il limite sarà: $lim_(X->-1^+-)root(3)((x+1)/(x^2+4))/(x+1)$, che riscrivo come $lim_(X->-1^+-)root(3)((x+1)/(x^2+4))(1)/(x+1)$, quindi semplifico numeratore del primo termine e denominatore del secondo termine del prodotto riscrivendo il limite come $lim_(X->-1^+-) (x+1)^(1/3)/root(3)(x^2+4)(1)/(x+1)$ e sfruttando la propietà delle potenze per cui $a^m/a^n$ = $a^(m-n)$. Risulta: $lim_(X->-1^+-)1/root(3)((x^2+4)(x+1)^2)$ = $+oo$. Giusto?

Ultima modifica di sequence95 il 13/05/2020, 22:35, modificato 5 volte in totale.

Pilloeffe, quello che hai risolto tu (con l'errore) mi potrebbe essere comunque utile ma non mi è chiaro perché abbia scritto $a^2 +ab +b^2$ al denominatore e nel passaggio finale perché $1/(75root(3)(4/25))$ faccia $1/(15root(3)(20))$ (mi sfugge qualcosa sulle operazioni fra radicali)

Moderatore: gugo82

@ pilloeffe: La prossima volta che proponi lo svolgimento completo di un esercizio in questo modo, prendiamo provvedimenti.

L'ho detto altrove, lo ripeto qui: in generale, e soprattutto in questo periodo di didattica a distanza, non è corretto che alla prima richiesta vengano spiattellate soluzioni.

Giusto?

No. O meglio, il risultato è corretto, ma il limite l'hai scritto malissimo.
Scriverei così:

$ \lim_{x \to -1^+-} root(3)((x+1)/(x^2+4))/(x+1) = +\infty $

non mi è chiaro perché abbia scritto $a^2+ab+b^2 $ al denominatore

Beh, perché

sfruttando la ben nota relazione $a^3−b^3=(a−b)(a^2+ab+b^2)$ ove nel caso in esame $a := root[3]{(x + 1)/(x^2 + 4)}$ e $b := root[3]{2/5} $

Quindi ovviamente $a - b = (a^3 - b^3)/(a^2 + ab + b^2) $

nel passaggio finale perché $ 1/(75root(3)(4/25)) $ faccia $ 1/(15root(3)(20)) $ (mi sfugge qualcosa sulle operazioni fra radicali)

Sì, ti sfugge qualcosa e sono calcoli elementari:

$ 1/(75root(3)(4/25)) = 1/(15 \cdot 5 root(3)(4/25)) = 1/(15 root(3)(4/25 \cdot 125)) = 1/(15 root(3)(4 \cdot 5)) = 1/(15root(3)(20)) $

@ pilloeffe, ho svolto l'esercizio con l'errore e adesso mi torna. Non mi è chiaro, riguardo al limite del rapporto incrementale corretto, perché non possa riscrivere $root(3)(a/b)/a$ come $root(3)(a/b)1/a$ e procedere a semplificare $root(3)(a)$ con $a$ riscrivendo $root(3)(a)$ come $a^(1/3)$ e sfruttando la proprietà delle potenze, quindi sottraendo gli indici trattandosi di un rapporto. Risulterebbe $1/root(3)(ba^2)$ e si elimini la forma indeterminata $0/0$.

Guarda che non ti ho scritto che hai sbagliato a fare le semplificazioni, anzi ti ho scritto esplicitamente che il risultato è corretto. Ma guarda come hai scritto il limite:

$ \lim_(X_0->-1^+-)1/root(3)((x^2+4)(x+1)^2) $

Cosa c'è che non è corretto nel modo in cui hai scritto quest'ultimo limite ed anche tutti i precedenti dello stesso post per la verità?