Funzione "cambio variabile"

Messaggioda frontespizzico » 13/05/2020, 08:24

Ciao, mi sono iscritto al forum arrivando da google tramite questa discussione https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 6&t=206266

Sto in tutti i modi cercando di capire un fatto riguardante il metodo di sostituzione degli integrali e capire la funzione cambio variabile/coordinate.

Nel link citato trovo un'ottima spiegazione che ha dipanato molti dubbi che avevo, tranne alcuni per cui ho avuto la necessità di provare a chiedere direttamente.

So che se ho una funzione: x -> f(x)

Posso costruire
1. la funzione "cambio di variabile": x -> t(x)
2. e la funzione "nella nuova variabile" t -> g(t)
E'importante che la 2. non sia scelta a caso: è scelta ad arte in modo tale che la sua "composizione" con 1. si comporti come la funzione originale:
3. x -> t(x) -> g(t(x)) = f(x)

Questo è abbastanza chiaro ad esempio nella derivazione di funzioni dove derivo rispetto alla variabile t (nata come funzione di cambio variabile) e moltiplico per la derivata della funzione interna rispetto allasua variabile.

Il problema è questo, negli integrali per sostituzione del tipo: ∫√(16-x²)dx spesso si usa il cambio x=4sinx, tuttavia noto che c'è qualcosa di strano, questa funzione non rispeta i dettami spiegati da anto_zoolander nel link, perché è una funzione limitata mentre in generale x² ha immagine illimitata almeno superiormente.

Ossia ho fatto un cambio variabile imponendo una restrizione sulla funzione "finale (perdonate il termine), però funziona lo stesso. Perché?

Grazie a chi risponderà e buona giornata.
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Re: Funzione "cambio variabile"

Messaggioda gugo82 » 13/05/2020, 10:16

Vedi qui, § 3.
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Re: Funzione "cambio variabile"

Messaggioda frontespizzico » 13/05/2020, 10:26

Ciao gugo82, ho scaricato e letto il paragrafo 3.

Se le avessi scaricate prima avrei avuto le idee più chiare già da qualche giorno, infatti giusto ieri ero finalmente arrivato a capire che il metodo per sostituzione altri non era se non un "corollario" della integrazione di funzione composta.

Però il mio dubbi mi sembra diverso, o almeno credo,forse sono io che non ho capito il legame.

Il mio dubbio come scrivevo è più che altro che mi pare che nella sostituzione che ho scritto stia facendo un cambio variabile, però sostituendoci il seno non mi pare di sostituire una funzione "furba" come magistralmente spiegava anto_zoolander. Perché il realtà la funzione seno ha una immagine diversa dalla x iniziale, e qeusta cosa mi turba perché non mi pare una "funzione cambio variabile".

Non so se ho spiegato meglio :)
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Re: Funzione "cambio variabile"

Messaggioda gugo82 » 13/05/2020, 12:08

Osservazione 35 a pag. 39 del pdf.
Rispetto alle altre sostituzioni possibili, quella col seno è la più furba.

Inoltre, dato che $sin t$ è periodica, è chiaro che per far funzionare la sostituzione ti devi restringere ad un intervallo in cui essa è biiettiva.
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Re: Funzione "cambio variabile"

Messaggioda frontespizzico » 13/05/2020, 12:28

Ti scongiuro di non spazientirti, perché in realtà l'ho letta anche prima e adesso ancora, ma non ho capito come essa risponda al mio dubbio :(. veramente, scusami!

A me piacerebbe capire perché quella che costruisco è una funzione cambio di variabile quando a conti fatti non mi semba,infatti in apertura dicevo che:

So che se ho una funzione: x -> f(x)

Posso costruire
1. la funzione "cambio di variabile": x -> t(x)
2. e la funzione "nella nuova variabile" t -> g(t)
E'importante che la 2. non sia scelta a caso: è scelta ad arte in modo tale che la sua "composizione" con 1. si comporti come la funzione originale:
3. x -> t(x) -> g(t(x)) = f(x)

Cioè quando compio un cambio di coordinate o variabili in generale la funzione che costruisco dovrebbe coprire la stessa immagine della precedente. La sostituzione "inversa" del pdf che è molto furba per l'integrale non capisco perché sia una sostituzione furba come funzione, dato che sint non portà mai darmi l'immagine di $x²$, mi sembra che con la sostituzione snaturo la funzione originaria e un cambio variabile questo non dovrebbe farlo.
Eppure poi l'integrale torna, quindi era una sostituzione valida.
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Re: Funzione "cambio variabile"

Messaggioda gugo82 » 14/05/2020, 14:37

Beh, è chiaro che se perdi di vista il dominio della funzione integranda prendi fischi per fiaschi…

Dov’è definita $f(x) := sqrt(16 - x^2)$? E che immagine ha $x(t) := 4 sin t$ con $t in [-pi/2 , pi/2]$?
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Re: Funzione "cambio variabile"

Messaggioda frontespizzico » 14/05/2020, 14:56

Grazie gugo82,

Ecco la mia idiozia e quindi ecco svelato l'arcano.

Hai ragione $-4<=x<=4$ esattamente come $4sint$ Non ho parole :|

Anzi scusa per la mia domanda così sciocca, ma non ne uscivo continuando a ragionare non sul concreto:dovevo farmi due conti :oops: .
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Re: Funzione "cambio variabile"

Messaggioda gugo82 » 14/05/2020, 15:45

Come dicono i fisici: Shut up and calculate.
Funziona, non sempre, ma funziona.
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