Ciao, mi sono iscritto al forum arrivando da google tramite questa discussione https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 6&t=206266
Sto in tutti i modi cercando di capire un fatto riguardante il metodo di sostituzione degli integrali e capire la funzione cambio variabile/coordinate.
Nel link citato trovo un'ottima spiegazione che ha dipanato molti dubbi che avevo, tranne alcuni per cui ho avuto la necessità di provare a chiedere direttamente.
So che se ho una funzione: x -> f(x)
Posso costruire
1. la funzione "cambio di variabile": x -> t(x)
2. e la funzione "nella nuova variabile" t -> g(t)
E'importante che la 2. non sia scelta a caso: è scelta ad arte in modo tale che la sua "composizione" con 1. si comporti come la funzione originale:
3. x -> t(x) -> g(t(x)) = f(x)
Questo è abbastanza chiaro ad esempio nella derivazione di funzioni dove derivo rispetto alla variabile t (nata come funzione di cambio variabile) e moltiplico per la derivata della funzione interna rispetto allasua variabile.
Il problema è questo, negli integrali per sostituzione del tipo: ∫√(16-x²)dx spesso si usa il cambio x=4sinx, tuttavia noto che c'è qualcosa di strano, questa funzione non rispeta i dettami spiegati da anto_zoolander nel link, perché è una funzione limitata mentre in generale x² ha immagine illimitata almeno superiormente.
Ossia ho fatto un cambio variabile imponendo una restrizione sulla funzione "finale (perdonate il termine), però funziona lo stesso. Perché?
Grazie a chi risponderà e buona giornata.