Limite del prodotto di successioni

Ciao, tra gli esercizi proposti del Prof. Canuto c'è la seguente richiesta: "Dire se esistono (ed eventualmente calcolare) i seguenti limiti:"
\[
\lim_{x\rightarrow +\infty}{x^3(1+\sin x)}
\]
C'è la soluzione a pag.6. Occorre prendere due successioni $x_n$ e $y_n$ che tendono allo stesso limite $+\infty$ ma che $f(x_n)$ e $f(y_n)$ tendano a due limiti diversi: il professore usa $x_n=2n\pi$ e $y_n=\frac{3}{2}\pi+2n\pi$ per cui $f(x_n)\rightarrow +\infty$ e $f(y_n)\rightarrow 0$. Perché la seconda funzione tende a 0? Sostituendo, ottengo il prodotto di successioni
\[
f(y_n)=(\frac{3}{2}\pi+2n\pi)^3[1+\sin(\frac{3}{2}\pi+2n\pi)]
\]
il secondo fattore è zero, ma il primo fattore tende a $+\infty$, quindi perché il prodotto tende a zero? Conosco il Teorema del prodotto di successione limitata per successione infinitesima che garantisce che il limite è zero, ma qui non posso applicarlo.

Calcola $f(y_n)$ e renditi conto.

Giungo a questo punto
\[
(\frac{9}{4}\pi^3+\frac{9}{2}\pi^3n+9\pi^3n^2+4n^3\pi^3)\cdot 0
\]

non è una forma indeterminata?

Giungo a questo punto
\[
(\frac{9}{4}\pi^3+\frac{9}{2}\pi^3n+9\pi^3n^2+4n^3\pi^3)\cdot 0
\]

non è una forma indeterminata?

Forse ho capito. Prima di far tendere $y_n$ a $+\infty$ posso effettuare il prodotto e quindi $f(y_n)\rightarrow 0$.
OK grazie.

Alcune correzioni:

Giungo a questo punto
\[
(\frac{9}{4}\pi^3+\frac{9}{2}\pi^3n+9\pi^3n^2+4n^3\pi^3)\cdot 0
\]

non è una forma indeterminata?

Forse ho capito. Prima di far tendere $y_n$ a $+\infty$ devo effettuare il prodotto e quindi $f(y_n) = 0$ per ogni $n in NN$.

Il problema vero, tetravalenza, è che usi "forma indeterminata" in maniera impropria.
Che cos'è una forma indeterminata?

Il problema vero, tetravalenza, è che usi "forma indeterminata" in maniera impropria.
Che cos'è una forma indeterminata?

Una forma che si presenta quando non è possibile calcolare con l'algebra dei limiti: somme, differenze, prodotti, quozienti, ecc. di di funzioni, per esempio la forma $\infty-\infty$, mentre con l'algebra dei limiti posso calcolare il limite dalla somma di funzioni che tendono a $+\infty$, è $+\infty$.

Appunto.
Ed allora mi spieghi perché dovresti considerare una successione identicamente nulla come "forma indeterminata"?

Appunto.
Ed allora mi spieghi perché dovresti considerare una successione identicamente nulla come "forma indeterminata"?

Se devo calcolare il limite di
\[
a_n=(\frac{3}{2}\pi+2n\pi)[1+\sin(\frac{3}{2}\pi+2n\pi)]
\]
prima di oggi avrei detto che è una forma indeterminata $+\infty\cdot 0$, avrei ignorato il fatto che il termine nullo semplifica l'espressione prima del calcolo del limite. Avrei scritto
\[
\lim_{n\rightarrow +\infty}{a_n}=\lim_{n\rightarrow +\infty}{(\frac{3}{2}\pi+2n\pi)}\cdot\lim_{n\rightarrow +\infty}{[1+\sin(\frac{3}{2}\pi+2n\pi)]}= ...
\]
OK grazie per il chiarimento.