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Salve in un tema d'esame di analisi 1, mi trovo questo problema:
Sia f:R->R una funzione derivabile due volte e tale che f(-1)=0, f(0)=0, f(1)=2.Dimostrare che f''(x) si annulla almeno in un punto.

Il mio ragionamento è stato di andare a ritroso e quindi avere una f'(x) che mi dia una costante, ma non so come procedere, mi viene naturale dire che se la derivata seconda si annulla ci sarà un flesso, ma è una cosa banale.

Sicuro che $f(1)=2$?

In tal caso il teorema è falso.
Tanto per farti un'idea del perché, prendi una funzione quadratica $f(x) = ax^2 + bx + c$ e cerca di determinare i coefficienti $a$, $b$ e $c$ in modo da soddisfare le ipotesi.
Ti pare che la derivata seconda si annulli?

si, c'è scritto proprio cosi.
Infatti ho provato in tutti i modi a soddisfare l'ipotesi, ma non riesco ad arrivare a una soluzione.

Ci sarà un errore di battitura.

Svolgilo con $f(1) = 0$. Così funziona.