integrale

Messaggioda Aletzunny » 15/05/2020, 17:27

non riesco a risolvere questo integrale nonostante ho fatto diversi tentativi...spero di non sbagliare all'inizio la prima integrazione:
$\int_0^1 int_0^(x^2) y*sqrt(x^2+y^2) dxdy$
la primitiva in $dy$ è $(1/3)*(x^2+y^2)^(3/2)$ che valutata tra $0$ e $x^2$ mi dà:


$\int_0^1 (1/3)*(x^2 + x^4)^(3/2)dx$

ho raccolto $x^2$ cosicchè $\int_0^1 (1/3)*(x^2(1 + x^2))^(3/2)dx$ $=$

$1/3 \int_0^1 x^3*(1+x^2)^(3/2)dx$ ma da qui non riesco più ad andare avanti.

ho provato anche con la sostituzione $x^2=t$ ma ottengo $(1/3)\int_0^1 t*(1+t)^(3/2)dt$ che non riesco a risolvere.

Grazie
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Re: integrale

Messaggioda pilloeffe » 15/05/2020, 18:26

Ciao Aletzunny,
Aletzunny ha scritto:mi dà:

Sei sicuro?
Siamo d'accordo che si ha:

$ \int y sqrt(x^2+y^2) \text{d}y = 1/3 (x^2 + y^2)^(3/2) + c $

Ora devi calcolare $ [1/3 (x^2 + y^2)^(3/2)]_0^{x^2} $
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Re: integrale

Messaggioda Aletzunny » 15/05/2020, 18:31

pilloeffe ha scritto:Ciao Aletzunny,
Aletzunny ha scritto:mi dà:

Sei sicuro?
Siamo d'accordo che si ha:

$ \int y sqrt(x^2+y^2) \text{d}y = 1/3 (x^2 + y^2)^(3/2) + c $

Ora devi calcolare $ [1/3 (x^2 + y^2)^(3/2)]_0^{x^2} $


Ho provato cosi $(1/3)(x^2+(x^2)^2)^(3/2)-(1/3)(x^2+(0)^2)^(3/2))$

Non sarebbe cosi?

P.S. la parte con solo $x^3$ è facilmente risolubile.

È $(1/3)(x^2+x^4)^(3/2)$ che non riesco ad integrare... ammettendo che abbia fatto giusto
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Re: integrale

Messaggioda pilloeffe » 15/05/2020, 19:04

Aletzunny ha scritto:Ho provato cosi $ (1/3)(x^2+(x^2)^2)^(3/2)-(1/3)(x^2+(0)^2)^(3/2) $

Beh se vai un po' avanti da dove sei arrivato anche tu a me risulta come segue:

$ 1/3 (x^2+x^4)^{3/2} - 1/3 x^3 = 1/3 (x^2(1 + x^2))^{3/2} - 1/3 x^3 = 1/3 x^3 (1 + x^2)^{3/2} - 1/3 x^3 $
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Re: integrale

Messaggioda Aletzunny » 15/05/2020, 19:05

pilloeffe ha scritto:
Aletzunny ha scritto:Ho provato cosi $ (1/3)(x^2+(x^2)^2)^(3/2)-(1/3)(x^2+(0)^2)^(3/2) $

Beh se vai un po' avanti da dove sei arrivato anche tu a me risulta come segue:

$ 1/3 (x^2+x^4)^{3/2} - 1/3 x^3 = 1/3 (x^2(1 + x^2))^{3/2} - 1/3 x^3 = 1/3 x^3 (1 + x^2)^{3/2} - 1/3 x^3 $


Si esatto io sono arrivato fino a lì come ho scritto nel post...ma adesso il primo membro non riesco ad integrarlo.

Magari mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua...

$(1/3)x^3(1+x^2)^(3/2)$ non capisco come integrarlo
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Re: integrale

Messaggioda pilloeffe » 15/05/2020, 19:16

Beh no, quell'integrale non è proprio immediato, bisogna pensarci... :wink:
Proverei a risolvere il relativo integrale indefinito ponendo $t := x^2 $
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Re: integrale

Messaggioda Aletzunny » 15/05/2020, 19:20

pilloeffe ha scritto:Beh no, quell'integrale non è proprio immediato, bisogna pensarci... :wink:
Proverei a risolvere il relativo integrale indefinito ponendo $t := x^2 $


È quello che ho scritto anche io nel mio post inziale...ma mi sono bloccato anche lì...nel post c'è il mio tentativo
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Re: integrale

Messaggioda Mephlip » 15/05/2020, 19:21

Integrazione per parti? Oppure poni $t+1=s$ (meglio la seconda).
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Re: integrale

Messaggioda Aletzunny » 15/05/2020, 19:24

Mephlip ha scritto:Integrazione per parti?


Dopo aver fatto la sostituzione ho provato ad integrare per parti $t*(1+t)^(3/2)$

Ma risultava più complicato di questo... salvo che io abbia fatto errori

$(1+t)^(3/2)*(t^2/2)-\int (3/2)(1+t)^(1/2)*(t^2/2)$
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Re: integrale

Messaggioda Mephlip » 15/05/2020, 19:31

Sostituendo $t+1=s$ hai che $\text{d}t=\text{d}s$, perciò
$$\int_0^1 t(1+t)^{\frac{3}{2}} \text{d}t=\int_1^2 (s-1)s^{\frac{3}{2}} \text{d}s$$
Meglio così, decisamente!
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