convessità di una funzione

si ho sbagliato a trascrivere scusate la funzione è $ f_{\alpha} (x) := e^x - \alpha x^3 $

D'accordo, in tal caso in effetti $ f_{\alpha}^{(2)}(x) = e^x - 6\alpha x $
Quindi da $ f_{\alpha}^{(2)}(x) >= 0 \implies e^x >= 6\alpha x $

Ponendo per comodità $m := 6\alpha $, graficamente sei interessato a sapere per quali valori di $m$ la ben nota funzione esponenziale $y = e^x $ è maggiore od uguale alla retta passante per l'origine $y = mx $, quindi $m$ può variare fra ... e ... e pertanto la risposta corretta è ...

Quindi quello che hai scritto non ha alcun senso.

Devi discutere la disequazione $e^x - 6 alpha x >= 0$ al variare del parametro $alpha$; ed è chiaro che la disequazione non si risolve esplicitamente.
Quindi, come fai?

Il suggerimento di pilloeffe sembra andare nella direzione giusta.