Prego!
Non ti torna perché usi un po' a caso il calcolo integrale (
come me un tempo, infatti sono stato giustamente bacchettato
), questo te lo volevo dire pure nell'altro post (e ho sbagliato a non farlo, ma fortunatamente hai chiesto quest'altra cosa e quindi possiamo rimediare).
Il punto è questo: quando hai integrato in maniera indefinita in quest'ultimo messaggio, quella che dai tu non è la famiglia delle primitive di $f$ ma solo una primitiva; nel caso specifico, quella per $c=0$.
Quindi puoi fare due cose: o integri in maniera indefinita e deduci chi è $c$ oppure integri in maniera definita in un intervallo sensato e ti trovi tutto in automatico.
Il secondo modo è quello più rigoroso: giunti ad $f'(x)=xe^x$, integrando ambo i membri nell'intervallo $(0,x)$ risulta
$$\int_0^x f'(t) \text{d}t = \int_0^x te^t \text{d}t$$
Dunque per il teorema fondamentale del calcolo integrale è
$$f(x)-f(0)=(x-1)e^x+1$$
Ma $f(0)=0$ in quanto è la serie di $0$; dunque giungi a
$$\frac{1}{x^2} \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{n+2}}{n!(n+2)}=\frac{(x-1)e^x+1}{x^2}$$
Ossia all'agognato risultato
$$\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!(n+2)}=\frac{(x-1)e^x+1}{x^2}$$