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Credo di aver risolto il seguente esercizio senza utilizzare un'ipotesi data:

If a mapping \(\displaystyle f:[0,1]→[0,1] \) is continuous, \(\displaystyle f(0)=0, f(1)=1 \) and \(\displaystyle (f\circ f)(x)\equiv x \) on \(\displaystyle [0,1]\Rightarrow f(x)\equiv x \).

Senza stare a riportare la dimostrazione formale, la riporto direttamente in forma visiva che è immediata.
\(\displaystyle f(f(x))≡x \Rightarrow f \) invertibile, in particolare è iniettiva. Se per assurdo esistesse un \(\displaystyle x_0\in [0,1] \) tale che \(\displaystyle f(x_0 )>x_0 \):



che è assurdo perché \(\displaystyle f \) deve essere iniettiva.

Analogamente se fosse \(\displaystyle f(x_0)<x_0 \):



In entrambi i casi, da nessuna parte uso l'ipotesi che \(\displaystyle f(1)=1 \).

Sbaglio qualcosa?

In realtà esistono più funzioni con la proprietà $f(f(x))=x$: una è chiaramente $f(x)=x$, ma un'altra è $f(x)=1-x$ (difatti $f(f(x))=1-(1-x)=x$).
Quindi le condizioni $f(0)=0$ ed $f(1)=1$ ti devono servire a scegliere $f(x)=x$ a scapito di altre alternative.

Nel tuo esempio, fissare solo \(\displaystyle f(0)=0 \) già mi esclude \(\displaystyle f(x)=1-x \).
Non ho capito se mi stai dicendo che la dimostrazione in [1] è sbagliata o meno.