Credo di aver risolto il seguente esercizio senza utilizzare un'ipotesi data:
If a mapping \(\displaystyle f:[0,1]→[0,1] \) is continuous, \(\displaystyle f(0)=0, f(1)=1 \) and \(\displaystyle (f\circ f)(x)\equiv x \) on \(\displaystyle [0,1]\Rightarrow f(x)\equiv x \).
Senza stare a riportare la dimostrazione formale, la riporto direttamente in forma visiva che è immediata.
\(\displaystyle f(f(x))≡x \Rightarrow f \) invertibile, in particolare è iniettiva. Se per assurdo esistesse un \(\displaystyle x_0\in [0,1] \) tale che \(\displaystyle f(x_0 )>x_0 \):
che è assurdo perché \(\displaystyle f \) deve essere iniettiva.
Analogamente se fosse \(\displaystyle f(x_0)<x_0 \):
In entrambi i casi, da nessuna parte uso l'ipotesi che \(\displaystyle f(1)=1 \).
Sbaglio qualcosa?