integrazione di funzioni non negative

[Aletzunny]

non sto riuscendo a capire il perchè sia vera questa affermazione trovata nelle slide dove studio:

sia $f:[a,j)->RR$ integrabile su $[a,b]$ $AA b<j$ e tale che $f(x)>=0$ in $[a,j)$: allora la funzione $F(b)=\int_a^b f(x) dx$ è monotona crescente.

qualcuno riesce a spiegarmela?

Grazie

[Mephlip]

Chi è $F'(b)$?

[axpgn]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

[Aletzunny]

Chi è $F'(b)$?

Forse...
Sarebbe la derivata dell'integrale di $f(x)$ e quindi $f(x)>=0$ stessa.
Giusto?

Anche perché per il T.F.C.I $F(b)$ è continua o sbaglio?

[Mephlip]

Già, quindi essendo la funzione integrale una funzione avente come variabile l'estremo superiore di integrazione essa è monotòna nell'estremo superiore di integrazione (ossia cresce/decresce al crescere dell'intervallo di integrazione, a seconda del segno di $f$, come puoi ben vedere nel grafico che ha mostrato axpgn).
Se $f$ è continua $F$ è addirittura derivabile per il teorema fondamentale del calcolo integrale, se $f$ è limitata (e lo è sempre nella teoria dell'integrale proprio secondo Riemann) $F$ è solo continua.

[Aletzunny]

Già, quindi essendo la funzione integrale una funzione avente come variabile l'estremo superiore di integrazione essa è monotòna nell'estremo superiore di integrazione (ossia cresce/decresce al crescere dell'intervallo di integrazione, a seconda del segno di $f$, come puoi ben vedere nel grafico che ha mostrato axpgn).
Se $f$ è continua $F$ è addirittura derivabile per il teorema fondamentale del calcolo integrale, se $f$ è limitata (e lo è sempre nella teoria dell'integrale proprio secondo Riemann) $F$ è solo continua.

Mi sono perso scusami...
Allora data $F(b)$ facendo $F'(b)$ si ha che $F'(b)=f(x)>=0$ e quindi $F(b)$ è una funzione monotona crescente...fino a qui ho scritto giusto?

Poi non ho capito onestamente il ragionamento fatto a partire dal grafico e perché dal grafico si deduce che è monotona crescente ( a me sembra decrescente e quindi sbaglio già da lì!)

Grazie

[Mephlip]

Prego!

Allora data $F(b)$ facendo $F'(b)$ si ha che $F'(b)=f(x)>=0$ e quindi $F(b)$ è una funzione monotona crescente...fino a qui ho scritto giusto?

Giusto.

Poi non ho capito onestamente il ragionamento fatto a partire dal grafico e perché dal grafico si deduce che è monotona crescente (a me sembra decrescente e quindi sbaglio già da lì!)

Quello è il grafico di $f$, non di $F$. Ricorda l'interpretazione geometrica dell'integrale: è l'area sottesa al grafico di $f$ con l'asse delle $x$.
Quindi $F$ è l'area sottesa dalla funzione, non la funzione; come vedi, l'area aumenta all'aumentare dell'ampiezza dell'intervallo (ossia all'aumentare di $b$, variabile indipendente della funzione $F$).
Chiaro ora?

[Aletzunny]

Prego!

Allora data $F(b)$ facendo $F'(b)$ si ha che $F'(b)=f(x)>=0$ e quindi $F(b)$ è una funzione monotona crescente...fino a qui ho scritto giusto?

Giusto.

Poi non ho capito onestamente il ragionamento fatto a partire dal grafico e perché dal grafico si deduce che è monotona crescente (a me sembra decrescente e quindi sbaglio già da lì!)

Quello è il grafico di $f$, non di $F$. Ricorda l'interpretazione geometrica dell'integrale: è l'area sottesa al grafico di $f$ con l'asse delle $x$.
Quindi $F$ è l'area sottesa dalla funzione, non la funzione; come vedi, l'area aumenta all'aumentare dell'ampiezza dell'intervallo (ossia all'aumentare di $b$, variabile indipendente della funzione $F$).
Chiaro ora?

Perfetto! Ora sì!

L'ultimo dubbio...ma io posso $F'(b)$ senza sapere che $F(b)$ è continua perché?

[Mephlip]

L'ultimo dubbio...ma io posso F'(b) senza sapere che F(b) è continua perché?

Scusa, non ho capito. $F$ è sempre continua, perché $f$ è sempre limitata nell'integrale proprio secondo Riemann (puoi provare a dimostrarlo per esercizio). Forse intendevi dire "senza che $F$ è derivabile".

In effetti ora che rileggo le ipotesi del tuo teorema ho un dubbio, tu per ipotesi hai che $f$ è solo integrabile e quindi non hai la continuità; quindi non sappiamo se $F$ è derivabile e perciò non si può derivare impunemente $F$.

Diciamo che il discorso che ti ho fatto funziona con $f$ continua, non solo integrabile; quindi non è da buttare, ti è comunque utile per capire come funzionano le funzioni integrali.
Ci ragiono un po' sopra e casomai riscrivo a cosa sono giunto, tutto ciò che ti ho detto è corretto se $f$ è continua.

Sicuro che ci sia $f$ integrabile nelle ipotesi e non continua? Probabilmente è vero anche con $f$ integrabile ma è meno semplice da dimostrare (non ci ho provato, è un'impressione a caldo che va presa con le pinze): magari con la definizione o con qualche altro teorema che ora come ora non mi viene in mente, quindi casomai aspetta anche pareri più esperti del mio.

P.S.: Se puoi evitare di citare tutto il messaggio il post è più pulito, basta che usi il pulsante "rispondi"; usa la citazione quando devi rispondere a specifici pezzi della risposta di un utente o non stai rispondendo all'ultimo utente che ha scritto, grazie

[Aletzunny]

Si ho scritto continua anziché derivabile. Le ipotesi che ho scritto sono giuste, ho ricontrollato.

Quindi ho capito il ragionamento ma manca diciamo l'autorizzazione a poter fare $F'(b)$ ahah.