Max e Min distanza dall' origine

Messaggioda matte.c » 22/05/2020, 18:21

buongiorno
espongo di seguito un dubbio su un esercizio.
data $S{(x,y,z) t.c 0<=z<=1-x^2-y^2}$
calcolare max e min distanza dall origine
ora io ho usato i moltiplicatori di lagrange impostando come vincolo $1-x^2-y^2=0$ e come funzione la distanza tra due punti $x^2+y^2$ (levo il quadrato che non modifica il risultato )
a questo punto ho $L(x,y,lambda)$ e applico la formula come imposto dai moltiplicatori
$(del)/(delx)$=$ 2x-2xlambda$
$(del)/(dely)$=$ 2y-2ylambda$
$(del)/(dellambda)$=$1-x^2-y^2 $
pongo tutto uguale a 0 e risolvo. volevo sapere se questo era il metodo giusto ed una volta pero trovata cosi la minima distanza come posso impostare per trovare la max distanza?
Grazie
matte.c
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Re: Max e Min distanza dall' origine

Messaggioda ValeForce » 22/05/2020, 21:48

Ciao matte.c,
Sono uno studente. Quindi se sospetti che la stia sparando grossa, probabilmente hai ragione :lol:
Scrivo solo cosa farei nel modo in cui mi è stato insegnato. Magari domani se ho tempo (e se serve) posto i calcoli esplicitamente.
L'esercizio intanto non chiede quello che hai scritto tu, secondo me. Si potrebbe ri-scrivere così.
Trova gli estremi assoluti di $$f(x,y,z)=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$$ sull'insieme $S: 0\le z\le 1-x^2-y^2$

Innanzitutto ce ne possiamo fregare della radice quadrata, perché $h(t)=\sqrt{t}$ è una funzione monotona crescente quindi i massimi restano tali e lo stesso fanno i minimi (è evidente che non abbiamo nemmeno problemi di definizione). Allora si cercano gli estremi assoluti della funzione $g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$ sull'insieme $S$. I primi candidati ad essere estremi assoluti sono i punti interni ad $S$ con $\grad g(x,y,z) =0$ e senza perderci molto tempo esce l'origine. E questo è un candidato (riflettendoci bene, l'origine appartiene ad $S$ quindi ci aspettiamo che il punto di minima distanza dall'origine... sia l'origine stessa). Gli altri candidati sono punti in cui non esiste il gradiente: in questo caso non ne abbiamo. Ed infine, la parte un po' più lunga, sulla frontiera di $S$. Si ha: $\partial S= S_1+S_2$ con
$S_1={ ( z=0 ),( 1-x^2-y^2>=0 ):}$
e
$S_2={ ( z=1-x^2-y^2 ),( 1-x^2-y^2>=0 ):}$
Ed in questo caso bisogna trovare gli estremi assoluti delle funzioni a due variabili:
$$g\restriction _{S_1}=x^2+y^2 $$
$$g\restriction_{S_2}=x^2+y^2+(1-x^2-y^2)^2$$
entrambi sull'insieme $E: x^2+y^2\le1$. Una volta trovati i punti si "riportano" nello spazio aggiungendo la $z$ correttamente facendo attenzione se si è in $S_1$ o $S_2$, e si confrontano i valori di $f$ calcolata su tali punti e l'origine.
Se non ti convince affatto ciò che ho scritto, aspettiamo qualcuno più esperto che conferma o smentisca :-)
"Se dovessi andare in Paradiso una delle cose che porterei con me è il teorema di esistenza degli zeri. L'altra un fumetto di Topolino." -Cit.
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Re: Max e Min distanza dall' origine

Messaggioda matte.c » 23/05/2020, 10:51

inteso inteso usi praticamente un weierstrass su un volume.
in effetti non l avevo mai vista in questo modo
Grazie
matte.c
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