integrale improprio e integrale di Riemann

Messaggioda Aletzunny » 22/05/2020, 22:05

ho un dubbio su questa affermazione e non sono sicuro sia così diretta:

sia $f:[a,j)->RR$ limitata su $[a,j)$ limitato e sia $f$ Riemann integrabile su $[a,b]$ $AA b<j$. Supponiamo che esista finito il $lim_(b->j) \int_a^b f(t) dt$ allora $f$ è Riemann integrabile su $[a,j)$

Ora a me l'implicazione sembra intuitiva e "ovvia" perchè se l'integrale improprio su $[a,j)$ è finito allora questo valore può considerarsi l'area creata sotto il grafico di $f$ e dunque tale limite coincide con l'integrale di Riemann su $[a,j)$.

ci sono oppure sono fuori strada?
O la dimostrazione è del tutto diversa ?

Grazie
Aletzunny
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 1025 di 1054
Iscritto il: 27/11/2017, 18:20

Re: integrale improprio e integrale di Riemann

Messaggioda gugo82 » 23/05/2020, 00:08

Qui, pag. 13.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
Avatar utente
gugo82
Moderatore globale
Moderatore globale
 
Messaggio: 23901 di 24338
Iscritto il: 12/10/2007, 23:58
Località: Napoli

Re: integrale improprio e integrale di Riemann

Messaggioda Aletzunny » 23/05/2020, 06:50

Grazie...
Non mi è chiaro solo cosa si intenda con prolungamento di $f$. : Siano $a < b ∈ RR$ ed $f : [a, b[→ RR$ integrabile impropriamente su $[a, b[$.
Se f si può prolungare su b in modo che il suo prolungamento $f *$
sia limitato ed
integrabile secondo Riemann su $[a, b]$, allora l’integrale di $f *$
esteso ad $[a, b]$ coincide
con l’integrale improprio di $f$ esteso ad $[a, b[$.

Grazie
Aletzunny
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 1027 di 1054
Iscritto il: 27/11/2017, 18:20

Re: integrale improprio e integrale di Riemann

Messaggioda gugo82 » 23/05/2020, 12:36

Ah, beh, se non ti è chiaro consulta il tuo testo (di Analisi o di Algebra) nei capitoli iniziali, quelli dedicati agli insiemi ed alle funzioni. :wink:
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
Avatar utente
gugo82
Moderatore globale
Moderatore globale
 
Messaggio: 23905 di 24338
Iscritto il: 12/10/2007, 23:58
Località: Napoli

Re: integrale improprio e integrale di Riemann

Messaggioda Aletzunny » 23/05/2020, 13:18

Ho un dubbio...la mia tesi corrisponde con la proposizione $2$ di pag $13$ del tuo pdf?

Perché li si parla di $f*$ e $f$ ma non capisco quale corrisponda al fatto che per ipotesi nel mio teorema esista finito il limite e quindi $f$ è R-integrabile tra $[a,j)$
Aletzunny
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 1028 di 1054
Iscritto il: 27/11/2017, 18:20

Re: integrale improprio e integrale di Riemann

Messaggioda gugo82 » 23/05/2020, 15:45

Aletzunny ha scritto:Ho un dubbio...la mia tesi corrisponde con la proposizione $2$ di pag $13$ del tuo pdf?

Sì, esattamente.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
Avatar utente
gugo82
Moderatore globale
Moderatore globale
 
Messaggio: 23910 di 24338
Iscritto il: 12/10/2007, 23:58
Località: Napoli

Re: integrale improprio e integrale di Riemann

Messaggioda Aletzunny » 23/05/2020, 16:07

Ok ma non sono sicuro di aver compreso bene l'equivalenza tra il mio testo e la tua proposizione:
Siano $a < b ∈ RR$ ed $f : [a, b[→ R$ integrabile impropriamente su $[a, b[$ sarebbe il mio $f:[a,j)->RR$ R integrabile su $[a,b]$ $AA b<j$ ed esiste finito il Limite per $b->j^-$

E "allora l’integrale di $f
(∗)$
esteso ad $[a, b]$ coincide
con l’integrale improprio di $f$ esteso ad $[a, b[$" sarebbe la mia tesi, cioè $f$ è R integrabile su $[a,j)$.

Ho capito bene?

Perché non riesco a convertire la dimostrazione: presa

$F=\int_a^b f(x) dx $ allora poiché $f$ è integrabile in $[a,b]$ $AA b<j$ e dunque $F$ è continua in $[a,b]$. Ma adesso sapendo che $lim_(b->j^-) F$ è finito come arrivo a dimostrare che $f$ è R integrabile in $[a,j)$ ?

Non sto riuscendo a venirne a una!
Aletzunny
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 1029 di 1054
Iscritto il: 27/11/2017, 18:20

Re: integrale improprio e integrale di Riemann

Messaggioda Aletzunny » 24/05/2020, 12:40

Oppure ho sbagliato ad interpretare la proposizione 2 rispetto al testo mio iniziale?

Grazie
Aletzunny
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 1030 di 1054
Iscritto il: 27/11/2017, 18:20

Re: integrale improprio e integrale di Riemann

Messaggioda gugo82 » 24/05/2020, 13:02

Eh, c'è da pensarci un po' su...
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
Avatar utente
gugo82
Moderatore globale
Moderatore globale
 
Messaggio: 23925 di 24338
Iscritto il: 12/10/2007, 23:58
Località: Napoli

Re: integrale improprio e integrale di Riemann

Messaggioda Aletzunny » 24/05/2020, 14:09

Come ho scritto sopra io l'ho interpretato così però non sono sicuro perché i due testi usano un linguaggio differente...

Ho anche provato a dimostrarlo ma non ci sono riuscito...

Un chiarimento, diciamo, mi farebbe comodo perché l'uso di $f(*)$ mi ha un po'scombussolato.

Grazie
Aletzunny
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 1031 di 1054
Iscritto il: 27/11/2017, 18:20


Torna a Analisi matematica di base

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Google [Bot] e 37 ospiti