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ho un dubbio su questa affermazione e non sono sicuro sia così diretta:

sia $f:[a,j)->RR$ limitata su $[a,j)$ limitato e sia $f$ Riemann integrabile su $[a,b]$ $AA b<j$. Supponiamo che esista finito il $lim_(b->j) \int_a^b f(t) dt$ allora $f$ è Riemann integrabile su $[a,j)$

Ora a me l'implicazione sembra intuitiva e "ovvia" perchè se l'integrale improprio su $[a,j)$ è finito allora questo valore può considerarsi l'area creata sotto il grafico di $f$ e dunque tale limite coincide con l'integrale di Riemann su $[a,j)$.

ci sono oppure sono fuori strada?
O la dimostrazione è del tutto diversa ?

Grazie

Qui, pag. 13.

Grazie...
Non mi è chiaro solo cosa si intenda con prolungamento di $f$. : Siano $a < b ∈ RR$ ed $f : [a, b[→ RR$ integrabile impropriamente su $[a, b[$.
Se f si può prolungare su b in modo che il suo prolungamento $f *$
sia limitato ed
integrabile secondo Riemann su $[a, b]$, allora l’integrale di $f *$
esteso ad $[a, b]$ coincide
con l’integrale improprio di $f$ esteso ad $[a, b[$.

Grazie

Ah, beh, se non ti è chiaro consulta il tuo testo (di Analisi o di Algebra) nei capitoli iniziali, quelli dedicati agli insiemi ed alle funzioni.

Ho un dubbio...la mia tesi corrisponde con la proposizione $2$ di pag $13$ del tuo pdf?

Perché li si parla di $f*$ e $f$ ma non capisco quale corrisponda al fatto che per ipotesi nel mio teorema esista finito il limite e quindi $f$ è R-integrabile tra $[a,j)$

Aletzunny ha scritto:Ho un dubbio...la mia tesi corrisponde con la proposizione $2$ di pag $13$ del tuo pdf?

Sì, esattamente.

Ok ma non sono sicuro di aver compreso bene l'equivalenza tra il mio testo e la tua proposizione:
Siano $a < b ∈ RR$ ed $f : [a, b[→ R$ integrabile impropriamente su $[a, b[$ sarebbe il mio $f:[a,j)->RR$ R integrabile su $[a,b]$ $AA b<j$ ed esiste finito il Limite per $b->j^-$

E "allora l’integrale di $f
(∗)$
esteso ad $[a, b]$ coincide
con l’integrale improprio di $f$ esteso ad $[a, b[$" sarebbe la mia tesi, cioè $f$ è R integrabile su $[a,j)$.

Ho capito bene?

Perché non riesco a convertire la dimostrazione: presa

$F=\int_a^b f(x) dx $ allora poiché $f$ è integrabile in $[a,b]$ $AA b<j$ e dunque $F$ è continua in $[a,b]$. Ma adesso sapendo che $lim_(b->j^-) F$ è finito come arrivo a dimostrare che $f$ è R integrabile in $[a,j)$ ?

Non sto riuscendo a venirne a una!

Oppure ho sbagliato ad interpretare la proposizione 2 rispetto al testo mio iniziale?

Grazie

Eh, c'è da pensarci un po' su...

Come ho scritto sopra io l'ho interpretato così però non sono sicuro perché i due testi usano un linguaggio differente...

Ho anche provato a dimostrarlo ma non ci sono riuscito...

Un chiarimento, diciamo, mi farebbe comodo perché l'uso di $f(*)$ mi ha un po'scombussolato.

Grazie