Condizione necessaria per l'integrabilità di un campo

Messaggioda Lorenzo_99 » 24/05/2020, 13:59

Buonasera, sto studiando la dimostrazione della C.N. per l'integrabilità di un campo $A$ di classe $C^0$.
Si parte con $int_(gamma) A=int_(a)^(b) A(gamma (t))gamma'(t) dt$ e $A=nablaf$. Per trovare la primitiva si sfrutta il th. di derivazione delle funzioni composte che richiede la differenziabilità: la $f$ è differenziabile per il th. del differenziale totale ($f in C^1$) e poi si dice che la curva $gamma$, essendo di classe $C^1$, è differenziabile. Ma perchè questo? Cioè $gamma$ è di classe $C^1$ per ipotesi ma la differenziabilità da dove viene? Il th. del differenziale totale se non sbaglio non vale per le curve in quanto richiede funzioni da variabili vettoriali ed un insieme aperto.

La seconda cosa (che probabilmente è banale) riguarda le ipotesi del th. di Torricelli scalare.
Alla fine della dimostrazione lo usiamo in quanto l'integranda è composizione di funzioni continue e quindi soddisfa le ipotesi di Torricelli. Poi però c'è un accenno al dominio e ad un intervallo che però non mi è chiaro. Nel senso che se non sbaglio il th. di Torricelli richiede che la funzione $f$ sia definita in un intervallo [a,b], cosa che qui non vale in quanto è definita su $Omega$ che potenzialmente è aperto, chiuso ecc. O forse sto confondendo l'ipotesi di Torricelli che invece richiede che sia il dominio di integrazione a dover essere chiuso e limitato e l'integranda sia ivi definita (quindi con $[a,b]sube Omega$)?
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Re: Condizione necessaria per l'integrabilità di un campo

Messaggioda dissonance » 26/05/2020, 13:17

Sono sono dettagli, non ti fissare troppo. La curva è una applicazione di \([a, b]\) in \(\mathbb R^n\), ovvero, dipende solo da una variabile, dire "derivabile" o "differenziabile" è sempre la stessa cosa. Qui poi richiede che sia addirittura \(C^1\), quindi puoi proprio scialare.

Per il secondo, non si capisce, che cos'è il "teorema di Torricelli scalare"? Solo pochissimi teoremi hanno un nome univoco, per tutti gli altri devi sempre specificare l'enunciato.
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Re: Condizione necessaria per l'integrabilità di un campo

Messaggioda Lorenzo_99 » 27/05/2020, 15:42

dissonance ha scritto:Per il secondo, non si capisce, che cos'è il "teorema di Torricelli scalare"? Solo pochissimi teoremi hanno un nome univoco, per tutti gli altri devi sempre specificare l'enunciato.

Teorema di Torricelli-Barrow, Teorema fondamentale del calcolo integrale...
In simboli: $int_(a)^(b) f(x) dx = F(b)-F(a)$ con $F$ primitiva di $f$.
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Re: Condizione necessaria per l'integrabilità di un campo

Messaggioda dissonance » 27/05/2020, 18:13

Il problema è che non ho capito qual è il tuo dubbio
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