Ciao a tutti. Come da titolo devo risolvere questa equazione complessa: $ z^2 = \overline{z^2} $
Io l'avrei già risolta usando due approcci diversi ma vorrei essere sicuro della loro correttezza.
1. Questo è quello più ovvio. Pongo $z=x+iy$. Mi troverò quindi con l'equazione $x^2-y^2+2ixy=x^2-y^2-2ixy$ che portando tutto al primo membro diventa $4ixy=0$. Questa equazione può essere vista come $0+4ixy=0+0i$ e dato che due numeri complessi sono equivalenti quando hanno rispettivamente uguale parte reale e immaginaria. L'uguaglianza della parte reale è sempre soddisfatta, dobbiamo quindi porre solamente $4xy=0$ che ha due soluzioni distinte: $x=0$ e $y=0$.
2. Questa l'ho fatta più "di testa mia", quindi potrei aver sbagliato di grosso
Siccome i numeri complessi godono della proprietà $z - \overline{z} = 2\Im(z)$ allora posso portare il complesso coniugato al primo membro e applicare la proprietà:
$ z^2 - \overline{z^2}= 0 = 2\Im(z^2) $
Si ha quindi che la parte immaginaria di $z^2$ è $0$ e anche il suo complesso coniugato ha parte immaginaria uguale a $0$. Sono entrambi numeri reali! Pertanto si equivalgono sempre e posso scrivere
$z^2 - \overline{z^2} = 0 \forall z \in \mathbb{R} $ (Metto $\mathbb{R}$ perchè in questo caso non ci sono soluzioni complesse, non so quanto sia giusta come notazione..)
Vanno bene come soluzioni? È difficile capire quando un esercizio è svolto bene con i numeri complessi, è un argomento il quale mi sono introdotto da pochissimo! Vi ringrazio in anticipo per la vostra disponibilità