Risolvere $ z^2 = \overline{z^2} $
Inviato: 24/05/2020, 12:28Ciao a tutti. Come da titolo devo risolvere questa equazione complessa: $ z^2 = \overline{z^2} $
Io l'avrei già risolta usando due approcci diversi ma vorrei essere sicuro della loro correttezza.
1. Questo è quello più ovvio. Pongo $z=x+iy$. Mi troverò quindi con l'equazione $x^2-y^2+2ixy=x^2-y^2-2ixy$ che portando tutto al primo membro diventa $4ixy=0$. Questa equazione può essere vista come $0+4ixy=0+0i$ e dato che due numeri complessi sono equivalenti quando hanno rispettivamente uguale parte reale e immaginaria. L'uguaglianza della parte reale è sempre soddisfatta, dobbiamo quindi porre solamente $4xy=0$ che ha due soluzioni distinte: $x=0$ e $y=0$.
2. Questa l'ho fatta più "di testa mia", quindi potrei aver sbagliato di grosso
Siccome i numeri complessi godono della proprietà $z - \overline{z} = 2\Im(z)$ allora posso portare il complesso coniugato al primo membro e applicare la proprietà:
$ z^2 - \overline{z^2}= 0 = 2\Im(z^2) $
Si ha quindi che la parte immaginaria di $z^2$ è $0$ e anche il suo complesso coniugato ha parte immaginaria uguale a $0$. Sono entrambi numeri reali! Pertanto si equivalgono sempre e posso scrivere
$z^2 - \overline{z^2} = 0 \forall z \in \mathbb{R} $ (Metto $\mathbb{R}$ perchè in questo caso non ci sono soluzioni complesse, non so quanto sia giusta come notazione..)
Vanno bene come soluzioni? È difficile capire quando un esercizio è svolto bene con i numeri complessi, è un argomento il quale mi sono introdotto da pochissimo! Vi ringrazio in anticipo per la vostra disponibilità
Io l'avrei già risolta usando due approcci diversi ma vorrei essere sicuro della loro correttezza.
1. Questo è quello più ovvio. Pongo $z=x+iy$. Mi troverò quindi con l'equazione $x^2-y^2+2ixy=x^2-y^2-2ixy$ che portando tutto al primo membro diventa $4ixy=0$. Questa equazione può essere vista come $0+4ixy=0+0i$ e dato che due numeri complessi sono equivalenti quando hanno rispettivamente uguale parte reale e immaginaria. L'uguaglianza della parte reale è sempre soddisfatta, dobbiamo quindi porre solamente $4xy=0$ che ha due soluzioni distinte: $x=0$ e $y=0$.
2. Questa l'ho fatta più "di testa mia", quindi potrei aver sbagliato di grosso
Siccome i numeri complessi godono della proprietà $z - \overline{z} = 2\Im(z)$ allora posso portare il complesso coniugato al primo membro e applicare la proprietà:
$ z^2 - \overline{z^2}= 0 = 2\Im(z^2) $
Si ha quindi che la parte immaginaria di $z^2$ è $0$ e anche il suo complesso coniugato ha parte immaginaria uguale a $0$. Sono entrambi numeri reali! Pertanto si equivalgono sempre e posso scrivere
$z^2 - \overline{z^2} = 0 \forall z \in \mathbb{R} $ (Metto $\mathbb{R}$ perchè in questo caso non ci sono soluzioni complesse, non so quanto sia giusta come notazione..)
Vanno bene come soluzioni? È difficile capire quando un esercizio è svolto bene con i numeri complessi, è un argomento il quale mi sono introdotto da pochissimo! Vi ringrazio in anticipo per la vostra disponibilità
Grazie!