Data una funzione $f$ definita su $AsubR$ dove $A$ è un insieme compatto e $f$ è una funzione semicontinua superiormente, allora $f$ ammette massimo.
Ricordo che quando qualche mese fa ne studiai la dimostrazione rimasi perplesso, oggi i dubbi rimangono ed ho deciso di fare un poco di luce. I miei appunti si basano sulla dimostrazione con una funzione semicontinua inferiormente e quindi sull'esistenza del minimo mentre io qui cercherò di fare il contrario.
Dimostrazione:
Essendo la funzione limitata, allora questa ammette un estremo superiore $Linf(A)uuDr(f(A))$.
1)Se $L$ fosse contenuto nelle immagini di $A$ allora questo semplicemente sarebbe il massimo della funzione.
2)Se $LinDr(f(A))$ allora posso costruire una successione $y_ninf(A) $t.c. $\lim_{n \to \infty}y_n$$=L$
Inoltre esiste una successione $x_ninA$ t.c. $ y_n=f(x_n)$.
Allora è possibile costruire una successione estratta $x_(kn)$ che tende ad un certo $x_0$ se $nrarr+infty$.
Fin qui nulla di strano, anzi l'uso delle successioni e di una estratta mi rimanda al Teorema di Weierstrass sulle funzioni continue.
Successivamente dovrebbe (per analogia ) seguire così anche se io ci ho capito ben poco :
$\lim_{n \to \infty}f(x_(kn))=L$
Questo perché anche $f(x_n)$ tende a $L$
ma $L=\lim_{n \to \infty}f(x_(kn))=max\lim_{n \to \infty}f(x_(kn)) $ in questa uguaglianza il primo dubbio,
e quindi proseguendo
$L=\lim_{n \to \infty}f(x_(kn))=max\lim_{n \to \infty}f(x_(kn))<=f(x_0) $ e qui sul maggiore o uguale la mia seconda perplessità.
Finendo con la dimostrazione risulta ovvio che necessariamente $L=f(x_0)$ e quindi la funzione è dotata di massimo.
Il vero problema è che nonostante abbia a disposizione i concetti espressi nella dimostrazione non riesca ad immaginare graficamente questa dimostrazione… sarei estremamente grato se qualcuno potesse spiegarmi non solo i passaggi algebrici ma anche aggiungere un esempio grafico