moto accelerato

Messaggioda Nickbru » 26/05/2020, 08:35

Un corpo che parte da fermo ha un'accelerazione che è istante per istante pari a
$ a=\frac{1}{d^2} $
dove d è la distanza del corpo dall'origine. Dopo quanto tempo arriva a d=1m?

Ho provato a risolvere l'equazione differenziale $\frac{d^2x(t)}{dt^2}=\frac{1}{x^2(t)} $ ma non ne sono uscito, mi perdo poi a trovare i valori delle costanti di integrazione perchè mi vengono logaritmi negativi, radici infinite ecc.
Secondo Wolfram la risoluzione dell'equazione differenziale è
$ (\frac{x(t) \sqrt{c_1 -\frac{2}{x(t)}}}{c_1}+\frac{\ln(\sqrt{c_1}x(t)\sqrt{c_1-\frac{2}{x(t)}}+c_1x(t)-1)}{c_1^\frac{3}{2}})^2=(c_2+t)^2 $

e a questo punto mi perdo nel trovare c1 e c2
Nickbru
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 23 di 41
Iscritto il: 04/07/2019, 10:36

Re: moto accelerato

Messaggioda pilloeffe » 26/05/2020, 10:10

Ciao Nickbru,

Scusa, ma che formula stai usando per impostare l'equazione differenziale?
Onestamente partirei da quella del moto accelerato (che dovresti sapere):

$x(t) = \dot{x}_0 t + 1/2 at^2 $

Poi
Nickbru ha scritto:Un corpo che parte da fermo [...]

Quindi nel tuo caso $\dot{x}_0 = v_0 = 0 $ e la formula si semplifica ulteriormente:

$x(t) = 1/2 at^2 $
pilloeffe
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 3812 di 3902
Iscritto il: 07/02/2017, 15:45
Località: La Maddalena - Modena

Re: moto accelerato

Messaggioda gugo82 » 26/05/2020, 11:07

@ pilloeffe: Guarda che il moto non è uniformemente accelerato.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
Avatar utente
gugo82
Moderatore globale
Moderatore globale
 
Messaggio: 23933 di 24338
Iscritto il: 12/10/2007, 23:58
Località: Napoli

Re: moto accelerato

Messaggioda Pierlu11 » 26/05/2020, 12:09

Visto che l'accelerazione è in funzione della posizione, cioè
\[
a(x)=\frac{1}{x^2},
\]
io proverei a sfruttare il fatto che
\[
a=v\frac{dv}{dx}
\]
da cui
\[
\int vdv=\int a dx=\int \frac{1}{x^2} dx.
\]
Dunque $v(x)=\sqrt{c-\frac{2}{x}}$. Da qui riesci a proseguire?
Pierlu11
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 452 di 460
Iscritto il: 27/01/2013, 22:49

Re: moto accelerato

Messaggioda Nickbru » 26/05/2020, 12:41

Pierlu11 ha scritto:Dunque $v(x)=\sqrt{c-\frac{2}{x}}$. Da qui riesci a proseguire?

qui sono arrivato pure io (infatti è il fattore che compare pure nella risoluzione completa fatta da Wolfram), il problema è a questo punto determinare c, perché l'unica cosa nota è che per x=0 v=0, ma in questo caso viene qualcosa del tipo

$\lim_{x \rightarrow 0}v_0=\lim_{x \rightarrow 0}\sqrt{c-\frac{2}{x}} $ che direi non abbia soluzioni nei reali (o nei complessi)
Nickbru
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 24 di 41
Iscritto il: 04/07/2019, 10:36

Re: moto accelerato

Messaggioda Nickbru » 26/05/2020, 12:45

pilloeffe ha scritto:Scusa, ma che formula stai usando per impostare l'equazione differenziale?

forse non era chiaro il testo, ma si intende che è pari a 1/x^2 istante per istante, quindi ha un'accelerazione variabile. Sono partito dal fatto che $\ddot{x}=a$
Nickbru
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 25 di 41
Iscritto il: 04/07/2019, 10:36

Re: moto accelerato

Messaggioda Pierlu11 » 26/05/2020, 12:49

Sicuro che parte da fermo dall'origine e non da un altro punto (anche perché lì non è neppure definita l'accelerazione)?
Pierlu11
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 453 di 460
Iscritto il: 27/01/2013, 22:49

Re: moto accelerato

Messaggioda Nickbru » 26/05/2020, 13:08

Pierlu11 ha scritto:Sicuro che parte da fermo dall'origine e non da un altro punto (anche perché lì non è neppure definita l'accelerazione)?

Ok forse è da intendersi al contrario, quindi parte da x=1 e arriva a x=0. Adesso che l'ho riletto meglio dice che d è la distanza dalla parete, non dall'origine. Colpa mia.

Quindi, a questo punto, si ottiene che $x_0=1$ e $v_0=0$
dunque $\sqrt{c-\frac{2}{x}}=\sqrt{c-2}=0 \Rightarrow c=2$

Ora risolvendo l'equazione differenziale $\frac{dx}{dt}=\sqrt{2 (1-\frac{1}{x})} $ si dovrebbe ottenere

$t=\frac{\sqrt{x-1} \sqrt{x}+\ln{\sqrt{x-1}+\sqrt{x}}}{\sqrt 2} - c_1$

Imponendo che per t=0 sia x=1 dovrebbe essere che
$c_1=0$ perché il numeratore della frazione è nullo

A questo punto però non posso determinare t per quando x=0 perché la funzione è definita per $x \geq 1$

Potrei dire che se la parete è distante 1 metro io debba trovare t per x=2 ma è un po' una forzatura.
In questo caso comunque sarebbe
$t(x=2)=1+\frac{\ln(1+\sqrt2)}{\sqrt2}$ che è circa 1,62.

Tuttavia un ragazzo mi ha detto di aver usato un programma in c++ e ha trovato 1,12 circa (non lo conosco, per cui non so se fidarmi).
Nickbru
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 26 di 41
Iscritto il: 04/07/2019, 10:36

Re: moto accelerato

Messaggioda pilloeffe » 26/05/2020, 13:09

Chiedo scusa, ho preso un abbaglio: in effetti $a $ non può essere costante visto che è funzione di $x^2(t) $... :wink:
Nickbru ha scritto:perché l'unica cosa nota è che per x=0 v=0

Beh no, per $t = 0 $ si ha $v_0 = \dot{x}(0) = 0 $: quindi non è che ha ragione Pierlu11 ed è $ x(0) = d \ne 0 $?
pilloeffe
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 3813 di 3902
Iscritto il: 07/02/2017, 15:45
Località: La Maddalena - Modena

Re: moto accelerato

Messaggioda Nickbru » 26/05/2020, 13:25

pilloeffe ha scritto: quindi non è che ha ragione Pierlu11 ed è $ x(0) = d \ne 0 $?


Si ha proprio ragione, me ne sono accorto dopo, comunque ho provato a rispondere con questa nuova condizione ma c'è ancora il dubbio se x aumenta da 1 a 2 oppure va da 1 a 0
Nickbru
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 27 di 41
Iscritto il: 04/07/2019, 10:36

Prossimo

Torna a Analisi matematica di base

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Mephlip e 42 ospiti