Ripercorriamo con ordine.
Abbiamo un corpo avente accelerazione $a(x)=\frac{1}{x^2}$ essendo $x$ la distanza da una parete che possiamo collocare nell'origine. Tale copro parte dalla posizione $x_0=1$ con velocità nulla e bisogna calcolare il tempo per giungere al punto in $x=2$.
Allora, come osservato,
\[
\int_{0}^{v(x)} vdv=\int_{1}^x \frac{1}{x^2}dx
\]
da cui
\[
\frac{1}{2}v^2(x)=-\frac{1}{x}+1
\]
cioè $v(x)=\sqrt{2-\frac{2}{x}}$.
Ora
\[
a=\biggl(\frac{1}{x}\biggr)^2=\biggl(1-\frac{1}{2}v^2\biggr)^2
\]
e
\[
\int_0^t dt=\int_0^1\frac{1}{a(v)}dv
\]
(poichè $v(2)=1$). Dunque
\[
t=4\int_0^1\frac{1}{(2-v^2)^2}dv,
\]
\[
t=\biggl[\frac{1}{4}\biggl(\frac{4v}{2-v^2}-\sqrt{2}ln(\sqrt{2}-v)+\sqrt{2}ln(\sqrt{2}+v)\biggr)\biggr]_0^1,
\]
\[
t=\frac{1}{4}\biggl(4+\sqrt{2}ln\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}\biggr)=1.6232...
\]
Penso che le condizioni che ho messo siano le più sensate visto che con'accelerazione del genere e una velocità nulla in $x_0=1$ gli unici punti che il corpo può raggiungere sono quelli in $x>1$ e lo zero non potrebbe raggiungerlo per nessun valore finito della velocità.
gtx ha scritto:E' chiaramente scritto coi piedi, il fatto che ci siano 20 messaggi in questa discussione che tentano di risolverlo senza sapere le condizioni iniziali la dice lunga...
P.S. Le critiche inutili e le lamentele le trovo più sgradevoli di un testo poco chiaro. Meglio discutere e tentare di arrivare ad una soluzione anziché dare giudizi inopportuni.