Matematicamente.it

Determinare gli estremi di f(x,y) con il vincolo g(x,y)=0 sia esplicitando il vincolo sia usando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Dove
$ f(x,y)=x^2 + 3y $
e
$ g(x,y)= x^2/4 + y^2/9 -1 = 0 $

Il mio dubbio è il seguente: se da g(x,y) esplicito x in funzione di y non ottengo soluzioni, mentre se esplicito y in funzione di x o uso il metodo dei moltiplicatori di Lagrange mi escono soluzioni. Perché esplicitando x non mi escono soluzioni?

Per evitarvi i calcoli li faccio io.

Nel caso esplicito x da g(x,y) ottengo: $ x= +- 2 sqrt(1-y^2/9) $ con $ y in [-3,3] $
sostituendo in f(x,y) ottengo $ 4(1-y^2/9)+3y= -4/9y^2+3y+4 $
Calcolo la derivata e la pongo = 0 per trovare i punti stazionari (Teorema di Fermat). Si ha:
$ -8/9y + 3 = 0 rArr y= 27/8 $ ma la soluzione non appartiene all'intervallo [-3,3] quindi il sistema non ha soluzioni.

Se provo a risolvere esplicitando y o usando i moltiplicatori di Lagrange tutto va liscio.

Praticamente, stai dicendo che quando i punti stazionari di una funzione derivabile stanno fuori dal compatto in cui la valuti, la funzione non ha né massimo né minimo in quel compatto...

Urge ripetere argomenti di Analisi I.


Inoltre, un altro modo semplice per fare i conti è usare le coordinate polari $\{ (x=2cos theta), (y=3 sin theta) :}$ per parametrizzare il vincolo.

gugo82 ha scritto:Praticamente, stai dicendo che quando i punti stazionari di una funzione derivabile stanno fuori dal compatto in cui la valuti, la funzione non ha né massimo né minimo in quel compatto...

Urge ripetere argomenti di Analisi I.


Inoltre, un altro modo semplice per fare i conti è usare le coordinate polari $\{ (x=2cos theta), (y=3 sin theta) :}$ per parametrizzare il vincolo.

Sto facendo un bel casino: così facendo sto violando il teorema di Weistrass e sto anche usando il teorema di Fermat per cercare i massimi e minimi assoluti...

Quindi quando considero $ -4/9y^2 + 3y + 4 $ devo cercare i massimi e minimi assoluti, che ho per $y=3 $ e $y=-3$.

Comunque, posso usare il teorema di Fermat per cercare i punti stazionari a patto di mostrare che sono massimo o minimo assoluti, giusto?