Verifica del Teorema della Divergenza di Gauss su Cono

[Packerman]

Buonasera a tutti! Scusate la domanda ma è tutto il pomeriggio che provo a capire dove sbaglio, ma non riesco a venirne a capo...

L'esercizio richiede la verifica del Teorema di Gauss sulla divergenza, quindi teoricamente sia l'integrale sul Volume che sulla Superficie del cono dovrebbero combaciare... l'esercizio in questione è il seguente:

Dato un campo vettoriale

$F=(-x ,3y , 2z^2 ) $ Verificare il teorema della divergenza su: $D(F)={x in R^3 : x^2+y^2=z^2 ; 0<=z<=5}$

Il Dominio è un cono rovesciato con il vertice nell'origine e delimitato dal piano z=5, vale anche che il raggio è uguale all'altezza, quindi utilizzo le coordinate cilindriche per parametrizzare il cono:

$\{(x=\rhocos\phi),(y=\rhocos\phi),(z=\rho):}$ $ \rho d\rho d\phi dz $ $\rho in [0,5] \phi in [0,2\pi] z in [0, \rho] $

quindi procedo con l'integrale sul volume, calcolando prima $ DivF=(2+4z) $

$\int_0^5 int_0^(2\pi) int_0^\rho (4+4\rho)\rho dz d\phi d\rho $ =
$\int_0^5 int_0^(2\pi) 2\rho^2 d\phi d\rho + \int_0^5 int_0^(2\pi) 4\rho^3 d\phi d\rho$

$ = (4250\pi)/3$

Procedo quindi al calcolo degli integrali di superficie, il Cono ne ha due, una è la circonferenza in cima e l'altra è la superficie laterale. Inizio con la circonferenza:

$\Sigma: (\rho cos\phi, \rhosin\phi, 5) -> \phi in [0,5] \rho in [0,2\pi] $

$ N=(0,0,\rho) $ Ricordanto che $F=(-x ,3y , 2z^2 ) $

$\int_0^5 int_0^(2\pi) (-\rhocos\phi,3\rhosin\phi,50) * (0,0,\rho) d\phi d\rho$
$\int_0^5 int_0^(2\pi) 50\rho d\phi d\rho = 1250\pi$

Calcolo ora sulla superficie laterale:

$\Sigma: (\rhocos\phi, \rhosin\phi, \rho)$
$N: (-\rhocos\phi, -\rhosin\phi, \rho)$

$\int_0^5 int_0^(2\pi) (-\rhocos\phi,3\rhosin\phi,2\rho^2) * (-\rhocos\phi, -\rhosin\phi, \rho) d\phi d\rho$

$\int_0^5 int_0^(2\pi) -\rho^2cos^2\phi = (125\pi)/3$
$\int_0^5 int_0^(2\pi) -\rho^2sin^2\phi = -125pi$
$\int_0^5 int_0^(2\pi) 2\rho^3 = 625\pi$

$=(1625\pi)/3$

Sommando con il flusso dell'altro integrale: $(1625\pi)/3+1250\pi=(5375\pi)/3$ Non confermando quindi quanto enunciato dal Teorema... Ho rifatto l'esercizio molte volte, provato a giocare un po' con delle componenti delle normali o provando altri approcci ma nulla, la cosa che mi sta facendo impazzire è che altri esercizi con dati diversi lo stesso procedimento funzionava... Spero possiate aiutarmi mi scuso se alla fine si tratterà di un errore banale

[pilloeffe]

Ciao Packerman,

Benvenuto sul forum!

Vedo diversi errori, ti consiglio caldamente di dare un'occhiata a quanto scritto dall'ottimo @anonymous_0b37e9 qui.