Dimostrazione del limite di una successione

Salve a tutti. Non riesco a capire un passaggio riguardo alla verifica di $ lim_(n ->oo )root(n)(n^2logn)=1 $. Dunque, sul libro viene scritto che da $ n=3 $, vale relazione $ 1<logn<n $ e che essa sussiste poiché per i numeri reali $ x>=3 $ vale la relazione $ 1<logx<x $. Ora, il fatto è che per dimostrare ciò, viene studiato il segno della derivata di $ f(x)=x-logx $, e sinceramente non ho capito cosa c'entri questo passaggio. Qualcuno me lo può cortesemente spiegare?

Ciao Daken97,

Beh, forse l'idea è far vedere che quella funzione è sempre crescente $\AA x > 1 $
Però il fatto che $\AA x > 0 $ si abbia $f(x) > 0 $ si vede molto bene anche graficamente disegnando le due funzioni $y = x $ (bisettrice del primo e del terzo quadrante) e la funzione $y = log x $

Ciao Daken97,

Beh, forse l'idea è far vedere che quella funzione è sempre crescente $\AA x > 1 $
Però il fatto che $\AA x > 0 $ si abbia $f(x) > 0 $ si vede molto bene anche graficamente disegnando le due funzioni $y = x $ (bisettrice del primo e del terzo quadrante) e la funzione $y = log x $

Ciao Pilloeffe.

Questa è la stessa interpretazione che ho dato io, ma onestamente non vedo in che modo, con lo studio del segno di $ f(x)=x-logx $, si dimostri in maniera analitica/rigorosa che vale la relazione $ 1<logx<x $, $ AA x>=3 $.

Come ti dicevo il fatto che $\AA x > 0 $ si abbia $log x < x $ non è una grossa novità; se però si vuole che sia anche $ 1 < log x $, allora è chiaro che deve essere $x > e = 2,7182818... $ quindi il primo valore intero successivo è proprio $x = 3 $ ed ecco che si ha $ 1 < log x < x \quad \AA x >= 3 $

Come ti dicevo il fatto che $\AA x > 0 $ si abbia $log x < x $ non è una grossa novità; se però si vuole che sia anche $ 1 < log x $, allora è chiaro che deve essere $x > e = 2,7182818... $ quindi il primo valore intero successivo è proprio $x = 3 $ ed ecco che si ha $ 1 < log x < x \quad \AA x >= 3 $

Sì, è chiaro che quella relazione vale... ma a maggio ragione, non capisco a cosa servisse studiare il segno di quella derivata. Probabilmente, l'autore del testo ha ricavato quella funzione dalla relazione $ 1<logx<x $ portando $ log x $ a destra, ma sapere che $ f(x)=x-log(x) $ è crescente per $ x>1 $, non capisco a cosa serva.

Perché dimostrare che $x>\ln x$ è equivalente a dimostrare che $x-\ln x>0$, ponendo $f(x):=x-\ln x$ ciò è ancora equivalente a dimostrare che $f(x)>0$; nota che per $x=1$ è $f(1)=1>0$, dunque per dimostrare l'asserto dimostreremo l'asserto più forte che $f$ è crescente per ogni $x>1$.
Ora, la funzione in $x=1$ vale $1>0$; perciò, se da $x=1$ in poi $f$ cresce è a maggior ragione più grande di $1>0$ per ogni $x>1$ e per questo c'è necessità dello studio della monotonia, per poi restringere il tutto ai naturali perché stiamo considerando una successione.
Come faresti senza monotonia?
Per l'altra stima, come sicuramente già sapevi e già ha detto pilloeffe bastano conoscenze pregresse all'analisi con analoga restrizione ai naturali; intersechi gli intervalli e concludi.

Perché dimostrare che $x>\ln x$ è equivalente a dimostrare che $x-\ln x>0$, ponendo $f(x):=x-\ln x$ ciò è ancora equivalente a dimostrare che $f(x)>0$; nota che per $x=1$ è $f(1)=1>0$, dunque per dimostrare l'asserto dimostreremo l'asserto più forte che $f$ è crescente per ogni $x>1$.
Ora, la funzione in $x=1$ vale $1>0$; perciò, se da $x=1$ in poi $f$ cresce è a maggior ragione più grande di $1>0$ per ogni $x>1$ e per questo c'è necessità dello studio della monotonia, per poi restringere il tutto ai naturali perché stiamo considerando una successione.
Come faresti senza monotonia?
Per l'altra stima, come sicuramente già sapevi e già ha detto pilloeffe bastano conoscenze pregresse all'analisi con analoga restrizione ai naturali; intersechi gli intervalli e concludi.

Meglio di così non potevi spiegarlo. Grazie mille.