Esercizio sulle derivate parziali

[smule98]

Ciao ragazzi stavo provando a risolvere questa la derivata parziale della seguente funzione nel punto (0,0):

$f(x,y)=(1+x^2)|y|$

Derivo rispetto ad x:

$(delf)/(delx)(x,y)=2x|y| rarr (delf)/(delx)(0,0)=2*0*|0|=0$

Derivo rispetto ad y:

$(delf)/(dely)(x,y)=1+x^2 rarr (delf)/(dely)(0,0)=1+0^2=0$ (Non so se sia corretto quest'ultimo passaggio, sono i primi esempi che risolvo)

Nelle dispense del professore invece c'è scritto: "siccome $f(0,y)=|y|$ per ogni y, abbiamo che la derivata parziale $(delf)/(dely)(0,0)$ non è definita in quanto la funzione $yrarr|y|$ non è derivabile nell'origine"

Non riesco a capire quest'ultimo punto, perchè non è derivabile nell'origine

[Mephlip]

Questo è un dubbio che viene da lacune di analisi 1, mi calcoli la derivata di $g(x):=|x|$ in $x=0$? Mi calcoli la derivata di $g(x)=|x|$ in $x=1$?

[smule98]

Se mi rifaccio alla formula della derivata del modulo per cui

$f(x)=|x| rarr f'(x)=(|x|)/x$

Ottengo

$f'(0)=(|0|)/0$

$f'(1)=(|1|)/1$

[Mephlip]

$f'(0)=(|0|)/0$

C'è qualcosa che non quadra direi, non ti viene uno scompenso a vedere quello $0$ al denominatore? A me sì!

Le regole di derivazione vengono da dei teoremi, questi teoremi hanno delle ipotesi; l'ipotesi principale è che le funzioni considerate siano derivabili.

Quindi prima di poter applicare le regole di derivazione è necessario assicurarsi che le funzioni considerate siano derivabili, per farlo bisogna usare la definizione di derivata.

Prova a studiare la derivabilità di $|x|$ in $x=0$ e in $x=1$ utilizzando la definizione di derivata.