Curve omotope

Buonasera, mi sono oggi imbattuto nella definizione di curve omotope: "Date $gamma : [0,1] rarr Omega$ e $sigma : [0,1] rarr Omega$ continue. Esse si definiscono omotope se esiste $h : [0,1]$x$[0,1] rarr Omega$ continua tale che $h(0,t) = gamma(t)$ e $h(1,t) = sigma(t)$ $AA t in [0,1]$.
Ciò che non capisco è perchè si dica che il sostegno delle due curve debba coincidere agli estremi (cioè $gamma(0)=sigma(0)$ e $gamma(1)=sigma(1)$). Cosa impedisce alle due curve di essere "staccate"? Mi sembra che comunque si possa ottenere una $h(lambda, t)$, con $lambda in [0,1]$ e $t in [0,1]$, continua.

Ultima modifica di Lorenzo_99 il 27/05/2020, 17:42, modificato 2 volte in totale.

$h$ non sarebbe più una funzione. $h(0,0)$ fa $\sigma(0)$ o $\gamma(0)$?

$h$ non sarebbe più una funzione. $h(0,0)$ fa $\sigma(0)$ o $\gamma(0)$?

$h(0,0)$ per definizione farebbe $gamma(0)$:

$ h : [0,1] $x$ [0,1] rarr Omega $ continua tale che $ h(0,t) = gamma(t) $ e $ h(1,t) = sigma(t) $ $ AA t in [0,1] $.

No?

Volendo possiamo considerare le due curve come due segmenti distanziati tra loro, come se fossero traslati. $h(lambda, t)$ descrive i segmenti che "salgono" dal segmento più basso ($gamma(t)$) e che vanno verso il segmento più in alto ($sigma(t)$) man mano che $lambda$ cresce.