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$ lim_(k -> +oo) 1/(kT) int_(-kT/2)^(kT/2) |f(x)|^2 dx= lim_(k -> +oo) 1/(kT)k int_(-T/2)^(T/2) |f(x)|^2 dx $Salve, in una dimostrazione il mio prof fa questo passaggio, quello che non capisco è : $ lim_(k -> +oo) 1/(kT) int_(-kT/2)^(kT/2) |f(x)|^2 dx= lim_(k -> +oo) 1/(kT)k int_(-T/2)^(T/2) |f(x)|^2 dx $, cioè è come se il prof portasse k dall'indice dell' integrale davanti, ma questa cosa fa cambiare il risultato se la primitiva è elevato ad un esponente diverso da 1, quindi non capisco come sia lecito.


passaggio completo:

$ lim_(k -> +oo) 1/(kT) int_(-kT/2)^(kT/2) |f(x)|^2 dx= lim_(k -> +oo) 1/(kT)k int_(-T/2)^(T/2) |f(x)|^2 dx
= 1/T int_(-T/2)^(T/2) |f(x)|^2 dx $

Suppongo che $f$ sia periodica di periodo $T$, me lo confermi?
Se dovesse essere così: pensa all'integrale della funzione $|sin x|$, periodica di periodo $T=\pi$, nell'intervallo $[-3\pi,3\pi]$.
Essendo la funzione periodica il grafico si ripete sei volte nell'intervallo, dunque l'area sottesa dal grafico di $f$ con l'asse delle ascisse è $6$ volte l'area sottesa dal grafico con l'asse delle ascisse in un solo periodo (ad esempio integrando solo in $[0,\pi])$.
Dunque, se $f$ è periodica di periodo $T$, l'intervallo $[-frac{T}{2},\frac{T}{2}]$ è ampio $T$ e di conseguenza l'intervallo $[-kfrac{T}{2},k\frac{T}{2}]$ è ampio $kT$; per il discorso fatto prima, l'integrale di $f$ nell'intervallo $[-kfrac{T}{2},k\frac{T}{2}]$ è $k$ volte l'integrale di $f$ nell'intervallo $[-frac{T}{2},\frac{T}{2}]$.

Mephlip ha scritto:Suppongo che $f$ sia periodica di periodo $T$, me lo confermi?
Se dovesse essere così: pensa all'integrale della funzione $|sin x|$, periodica di periodo $T=\pi$, nell'intervallo $[-3\pi,3\pi]$.
Essendo la funzione periodica il grafico si ripete sei volte nell'intervallo, dunque l'area sottesa dal grafico di $f$ con l'asse delle ascisse è $6$ volte l'area sottesa dal grafico con l'asse delle ascisse in un solo periodo (ad esempio integrando solo in $[0,\pi])$.
Dunque, se $f$ è periodica di periodo $T$, l'intervallo $[-frac{T}{2},\frac{T}{2}]$ è ampio $T$ e di conseguenza l'intervallo $[-kfrac{T}{2},k\frac{T}{2}]$ è ampio $kT$; per il discorso fatto prima, l'integrale di $f$ nell'intervallo $[-kfrac{T}{2},k\frac{T}{2}]$ è $k$ volte l'integrale di $f$ nell'intervallo $[-frac{T}{2},\frac{T}{2}]$.

E questo concetto vale anche se io all'interno dell'integrale ho per esempio cos(x)^2 ? cioè una funzione elevata a qualcosa.