Trovare la funzione giusta

[alifasi]

Ciao

Mi rendo conto il titolo sia un po' approssimativo, tuttavia è in breve quello che vorrei fare. Vorrei trovare una espressione che derivata mi dia la seguente:

$2/x(df)/(dx)+(d^2f)/(dx^2)$ (1)

Mi rendo conto che possa essere: $1/x^2d/(dx)(x^2(df)/(dx))$ ma anche: $1/x(d^2/(dx^2)(xf(x)))$

tuttavia non è ovviamente pari all'integrare la (1) e trovarne una primitiva. E' un calcolo svolto ad occhio, però formalmente cosa dovrei fare? Anche perche non sempre potrebbe essere così facile.

[gugo82]

Questa:

$ 1/x(d^2(x(f(x))/dx^2) $

non ha alcun senso.

L'altra è giusta.

Il trucco è considerare tutto come se fosse la derivata di un prodotto cui manca un fattore.

[alifasi]

Fulmineo, mi hai risposto prima che riuscissi a pensare al dubbio
grazie mille per la risposta, anzitutto.

Il trucco è considerare tutto come se fosse la derivata di un prodotto cui manca un fattore.

Scusami ma non ho ben afferrato , posso chiederti una delucidazione per lenti di comprendonio?

$ 1/x(d^2(x(f(x))/dx^2) $

non ha alcun senso.[/quote]

Però non avrei: $1/x(d/(dx)(f+xf'))=1/x(f'(x)+f'(x)+xf''(x))=2/xf'(x)+f''(x)$?

[gugo82]

Scusa, ma che significa $ d^2(x(f(x))/dx^2 )$?

[alifasi]

Scusa, ma che significa $ d^2(x(f(x))/dx^2 )$?

Che ho sbagliato a digitare

Ho corretto, però non capisco come arrivarci se non ad occhio.

Inoltre il tuo consiglio

Il trucco è considerare tutto come se fosse la derivata di un prodotto cui manca un fattore.

non ho ben capito come sfruttarlo per la prima. Cioè tu dici giustamente che: $2/x(df)/(dx)+M(d^2f)/(dx^2)$ dove M è il fattore mancante. Dunque M dovrebbe essere l'integrale di $2/x$ essendo quest'ultimo la derivata di $M$ per $(df)/(dx)$ secondo fattore non derivato. Però visto questo non capisco come sfruttarlo.

[pilloeffe]

Ciao alifasi,

Non è che dal momento che l'equazione di Laplace è invariante sotto rotazione, per caso stai cercando soluzioni di tipo radiale, dipendenti solamente dalla variabile $x$:

$x = |\mathbf{x}|=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}} $

Sto pensando in particolare al caso $n = 3 $.
Potresti dare un'occhiata ad esempio qui ovvero alle pagine 20, 21 e 22 del testo di Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, 1998.

[alifasi]

Ciao pilloeffe ,

Si certo è proprio il laplaciano, in particolare era r al posto di x, intendendo con r la norma del vettore da te indicato (diciamo impropriamente il raggio).

Però io ho capito i passaggi, tuttavia la mia domanda era proprio a livello di "ricerca primitiva" come era da impostare. Il consiglio di gugo credo fosse utile ma deve sfuggirmi qualcosa perché non l'ho capito appieno.

La mia domanda era quindi più un "come si fa quella cosa avendo funzioni di quel tipo", complimenti per l'occhio!!

[gugo82]

Si chiama “ricerca di un fattore integrante”, è una tecnica come un’altra per la risoluzione di equazioni differenziali.
Tanto per capirci, è quello che si fa anche con le EDO del primo ordine, anche se nessuno te lo dice, quando vai a determinare quella benedetta funzione $e^(A(x))$ (che è proprio un fattore integrante).

Nel tuo caso hai $2/r f^’ (r) + f^{’’}(r)$ e bisogna scegliere una funzione $phi(r)$ tale che $2/r phi(r) f^’ (r) + phi(r) f^{’’}(r)$ sia la derivata di un prodotto: in tal caso l’unica possibilità è che $2/r phi(r) = phi^’(r)$, quindi $ phi(r) = r^2$ fa al caso tuo; dunque moltiplicando e dividendo per $phi(r) = r^2$ ottieni:

$2/r f^’ (r) + f^{’’}(r) = 1/r^2 [2r f^’ (r) + r^2 f^{’’}(r)] = 1/r^2 (text(d))/(text(d) r)[r^2 f^’(r)] = 1/r^2 (text(d))/(text(d) r)[r^2 (text(d))/(text(d) r)f(r)]$.

[alifasi]

Cavolo, ma perché non viene spiegato così a lezione anche per i più tonti. Sei stato chiarissimo, grazie

[Bokonon]

@alifasi
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... e#p8356106