Equazione parametrica superficie e piano tangente

[Flamber]

Ho un "problema" che non riesco a risolvere.

Provo ad introdurlo in questo modo. Consideriamo una funzione $g:RRrarrRR$. Posso scrivere una parametrizzazione della curva (grafico) semplicemente ponendo $\gamma(t) = (t,g(t))$. Il vettore tangente alla curva nel punto $t_0$ è $\gamma'(t_0) = (1 , g'(t_0))$. Da qui posso ricavare l'equazione parametrica (e poi quella cartesiana) della retta tangente al grafico in $t_0$

[1] $(x,y) - (x_0,g(x_0)) = t(1 , g'(t_0))$

[2] $\{(x = x_0 + t),(y = g(x_0)+tg'(x_0)):}$

da qui, eloninando il parametro t, posso ottenere la nota equazione del piano tangente:

[3] $y = g(x_0) + g'(x_0) (x-x_0)$


In analogia, chiedo come posso fare qualcosa del genere partendo alla parametrizzazione di una funzione scalare $f:RR^2rarrRR$. Posso parametrizzare il grafico come: $\sigma(u,v) = (u, v, f(u,v,))$

Consideriamo l'interezione del grafico di questa funzione con due piani $ x = u_0$ e $y = v_0$, ottengo due curve in $RR^3$ del tipo:

[4] $\gamma_1(u) = ( u, v_0, f(u,v_0))$
[5] $\vec\gamma_1'(u_0) = ( 1, 0, \partial/(\partialu) f(u_0,v_0))$

[6] $\gamma_2(v) = ( u_0, v, f(u_0,v))$
[7] $\vec\gamma_2'(v_0) = ( 0, 1, \partial/(\partialv) f(u_0,v_0))$

Il vettore normale alla superficie nel punto $(u_0,v_0)$ è dato dal prodotto vettoriale dei due vettori tangenti:

[8] $\vecN(u_0,v_0) = \vec\gamma_1'(u_0) ^^ \vec\gamma_2'(v_0) = (-\partial/(\partialu) f(u_0,v_0),-\partial/(\partialv) f(u_0,v_0),1)$

Come posso ottenere l'equazione parametrica del piano tangente. O meglio, come posso ottenere l'equazione parametrica (non quella cartesiana) del piano ortogonale ad $\vecN(x_0,y_0)$ e passante per il punto $(x_0,y_0)$ come fatto nelle equazioni [1] e [2] conoscendo $\vecN(x_0,y_0)$?

EDIT: Non ho difficoltà a trovare l'equazione paramentrica partendo dai vettori $\vec\gamma'_1$, $\vec\gamma'_2$, è sufficiente imporre la combinazione lineare dei deu vettori $(x,y,z) - (x_0,y_0,f(x_0,y_0)) = u\vec\gamma'_1(x_0) + v\vec\gamma'_2(x_0)$.

Vorrei capire quale è il ragionamento che devo fare per ottenerla direttamente a partire da $\vecN(x_0,y_0)$. Sarebbe sufficiente imporre l'ortogonalità attraverso il prodotto scalare? $[(x,y,z) - (x_0,y_0,f(x_0,y_0))] * \vecN = 0$. Però in questo modo ottengo direttamente l'equazione cartesiana:

$(x-x_0 , y - y_0, z - f(x_0,y_0)) * (-\partial/(\partialx) f(y_0,x_0),-\partial/(\partialy) f(x_0,y_0),1) = 0$

$-\partial/(\partialx) f(x_0,x_0) * (x-x_0) -\partial/(\partialy) f(x_0,y_0) * (y - y_0) + z - f(x_0,y_0) = 0$

$z = f(x_0,y_0) + \partial/(\partialx) f(x_0,y_0) * (x-x_0) +\partial/(\partialy) f(x_0,y_0) * (y - y_0)$
$ z= f(x_0,y_0) + \vec\gradf(x_0,y_0) (x-x_0,y-y_0)$

o invece vorrei ottenere direttamente quella parametrica.