teorema degli zeri

[tgrammer]

salve ragazzi, non riesco a capire, nel teorema degli zeri, come dimostrare che la funzione $ f:[a,b]->R $ si annulli in $ f(c) $
se infatti fosse $ f(c)<0 $ allora, essendo $ f $ continua, allora $ lim_(x->c)f(x)=f(c)>0 $
essendo questo limite positivo, per il teorema della permanenza del segno esiste un intorno in cui anche la funzione è positiva.
per arrivare all'assurdo si considera l'ampiezza dell'intervallo $ [a,b]=(b-a)/(2^n)<(b-a)/n $
arrivato qui non so bene come proseguire, cioè come arrivare alla definizione del limite della successione $ a_n $ e trovare la contraddizione

[tetravalenza]

Se $f(c_n)<0$ non c'è uno zero quindi occorre continuare la ricerca suddividendo ulteriormente l'intervallo ottenuto al passo $n$ ponendo $a_{n+1}=c_n$ e così via, si crea dunque una successione infinita di intervalli (a meno di aver trovato lo zero con un numero finito di passi) $[a_n, b_n]$ con la caratteristica
\[
f(a_n)<0<f(b_n)
\]
Entrambe le successioni sono monotone, per esempio $a_n$ crescente e $b_n$ decrescente, e limitate: quindi per il teorema della monotonia delle successioni esistono i loro limiti finiti.

[gugo82]

Moderatore: gugo82

Eri stato avvertito.

Chiudo, poiché il post iniziale non ha alcun filo logico.