Equazioni differenziali secondo ordine

Messaggioda AndretopC0707 » 02/06/2020, 15:18

Siano
$y''−2y' +2y= cos t$e $y(t)$ sia una soluzione dell’equazione; si ha:
• tutte le y(t) sono periodiche
• vi è un’unica y(t) periodica
• nessuna delle altre
• nessuna y(t) è periodica

Io ho pensato alla prima, perché risolvendo l’equazione omogenea associata trovo che il delta è negativo quindi dipende da coseno e seno e anche la soluzione particolare dipende da coseno e seno( per metodo di somiglianza) è corretto?
Esiste un modo per verificare immediatamente, senza fare calcoli?
Grazie
AndretopC0707
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Re: Equazioni differenziali secondo ordine

Messaggioda pilloeffe » 02/06/2020, 19:28

Ciao AndretopC0707,
AndretopC0707 ha scritto:Esiste un modo per verificare immediatamente, senza fare calcoli?

Beh, magari non proprio senza fare calcoli, ma facendone di molto semplici sì... :wink:
L'equazione differenziale proposta è la seguente:

$y''−2y' +2y = cos t $

La soluzione $y(t) $ di una equazione differenziale si può sempre scrivere nella forma seguente:

$y(t) = y_o(t) + y_p(t) $

ove $y_o(t) $ è la soluzione dell'equazione omogenea associata e $y_p(t) $ è una soluzione particolare che, facendo uso del metodo di somiglianza vista la forma del termine noto, si può scrivere nella forma $y_p(t) = A sin t + B cos t $ con $A $ e $B$ opportune costanti da determinare.
L'equazione caratteristica dell'equazione differenziale omogenea associata è molto semplice:

$\lambda^2 - 2\lambda + 2 = 0 $

Da quest'ultima si ottengono subito le due soluzioni $\lambda_{1,2} = 1 \pm i $ e di conseguenza si ha:

$y_o(t) = c_1 e^t sin t + c_2 e^t cos t $

A questo punto dovresti essere in grado di individuare qual è la risposta corretta...
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Re: Equazioni differenziali secondo ordine

Messaggioda AndretopC0707 » 02/06/2020, 20:15

Va bene grazie.
La risposta corretta è la prima giusto?
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Re: Equazioni differenziali secondo ordine

Messaggioda pilloeffe » 02/06/2020, 20:32

AndretopC0707 ha scritto:Va bene grazie.

Prego.
AndretopC0707 ha scritto:La risposta corretta [...]

Alla risposta corretta ci si arriva ragionando: $e^t $ è una funzione periodica?
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Re: Equazioni differenziali secondo ordine

Messaggioda AndretopC0707 » 03/06/2020, 11:20

In che senso?
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Re: Equazioni differenziali secondo ordine

Messaggioda AndretopC0707 » 03/06/2020, 11:22

$e^t cost$ è periodica, anche per il seno.
Poi sommo la particolare e trovo che è comunque periodica perché sono sempre seno e coseno.
Non è corretto?
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Re: Equazioni differenziali secondo ordine

Messaggioda Mephlip » 03/06/2020, 11:24

$e^t \cos t$ non è periodica, prova ad applicare la definizione di funzione periodica e vedrai che non è soddisfatta.
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Re: Equazioni differenziali secondo ordine

Messaggioda AndretopC0707 » 03/06/2020, 14:22

Quindi quale è la risposta corretta?
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Re: Equazioni differenziali secondo ordine

Messaggioda Mephlip » 03/06/2020, 19:43

AndretopC0707, il forum non funziona così. Avevi un'idea, ti abbiamo fatto vedere come mai non è corretta, ora ci pensi un po' su e, se non ne esci, torni qui e ne discutiamo nuovamente.
Tuttavia pensarci su significa portare argomenti a favore di una scelta e argomenti a sfavore delle altre; anche perché altrimenti non imparerai mai a ragionare autonomamente.
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Re: Equazioni differenziali secondo ordine

Messaggioda AndretopC0707 » 03/06/2020, 20:04

Io ho detto che secondo me la risposta corretta è la prima,
se non è corretto, non saprei.
Mi viene da pensare che allora l’unica possibile sia che ce ne è solo una, nel caso in cui sia $c1$ che $c2$ siano nulle.
Non saprei altrimenti
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