Esempi sul calcolo di integrali multipli con coordinate polari

[smule98]

Ciao ragazzi mi servirebbe un aiuto sul calcolo degli integrali multipli

Dato un punto nel piano $P_***=(x_***,y_***)$ il sistema di coordinate polari centrato in $P_***$ è descritto da:

${(x=x_***+rcos\theta),(y=y_***+rsin\theta):}$

Prendendo un esempio:

Calcoliamo l'integrale $\int int_Omega x dx dy$ sul dominio $Omega={(x,y}:x>=0,y>=0,1>=x^2+y^2<=4}$

il dominio Ω corrisponde alla regione rettangolare D nel piano r-θ data da:

$D={(r,\theta):1<=r<=2,0<=\theta<=pi/2}$

Non capisco come è avvenuta questra trasformazione utilizzando il sistema scritto in precedenza.
Grazie

[gugo82]

Fai un disegno.

[smule98]

Si risolve solo geometricamente?

[gugo82]

Ovviamente no, ma non vedo perché perdere tempo in calcoli per una cosa così banale: la geometria sotto c'è e va usata.

Il disegno ti suggerisce subito quale polo $(x_***, y_***)$ usare.
Capito ciò e ricordate le interpretazioni geometriche di $theta$ e $r$, il gioco è fatto.

[smule98]

Vorrei capire i calcoli algebrici eseguiti

[Mephlip]

Comincia scegliendo un polo per le coordinate polari, come ti ha già suggerito gugo82.

[smule98]

Ok ho capito come risolverlo geometricamente. Altra domanda in un altro esempio con coordinate sferiche.

Calcola l'integrale $\int int int_Ωx^2dxdydz$ dove il guscio Ω è la regione solida contenuta nella sfera di raggio 2 ed estrerna alla sfera di raggio 1, entrambe con centro nell'origine.

$Ω={(x,y,z):1<=x^2+y^2+z^2<=4}$

Facendo il disegno vedo subito che la variabile radiale è ristretta all'intervallo 1<=r<=2 e nella risoluzione dice che i 2 angoli variano $0<=φ<=pi$ e $0<=θ<=2pi$

In questi ultimi angoli non capisco perchè non variano entrambi tra 0 e 360 essendo entrambe 2 sfere

[gugo82]

Non lo capisci perché non hai capito geometricamente cosa rappresentano quegli angoli.
Fai un disegno (di nuovo).

[pilloeffe]

Ciao smule98,

Il sistema di coordinate sferiche con $\varphi $ colatitudine è il seguente:

$ {(x = \rho sin\varphi cos\theta),(y = \rho sin\varphi sin\theta),(z = \rho cos\varphi):} $

ove naturalmente si ha $\rho >= 0$, $\theta \in [0,2\pi)$ e $\varphi \in [0,\pi]$; nel caso in esame invece dal disegno o con opportuni ragionamenti (che dovresti riuscire a fare autonomamente, ma in caso contrario facci sapere... ) si vede subito che si ha $\rho \in [1,2]$, $\theta \in [0,2\pi)$ e $\varphi \in [0,\pi]$

[smule98]

Ciao smule98,

Il sistema di coordinate sferiche con $\varphi $ colatitudine è il seguente:

$ {(x = \rho sin\varphi cos\theta),(y = \rho sin\varphi sin\theta),(z = \rho cos\varphi):} $

ove naturalmente si ha $\rho >= 0$, $\theta \in [0,2\pi)$ e $\varphi \in [0,\pi]$; nel caso in esame invece dal disegno o con opportuni ragionamenti (che dovresti riuscire a fare autonomamente, ma in caso contrario facci sapere... ) si vede subito che si ha $\rho \in [1,2]$, $\theta \in [0,2\pi)$ e $\varphi \in [0,\pi]$

Intanto grazie per l'aiuto.
No non mi è ancora chiaro che ragionamenti dovrei fare.
Mi sarebbe utile capire, spiegando chiaramente passo per passo, i ragionamenti che devono essere fatti. Grazie