da Silent » 04/07/2020, 11:06
Ciao @dissonance, grazie di avermi risposto e scusa se ritorno con qualche giorno di ritardo, è stata una settimana di lavoro pesante e la sera non ho avuto le forze di rimettermici.
Dunque, correggimi se sbaglio nel modo di ragionare.
Comincio col calcolare la derivata prima (in senso astratto) di $f$. Cerco di far vedere che esistono le derivate parziali e che esse sono continue, in modo da poter facilmente concludere.
Se la derivata parziale \(\displaystyle \partial _x f(x_0,y_0):\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) esiste, allora vale che per ogni vettore \(\displaystyle h_x\in\mathbb{R} \):
$$\partial _x f(x_0,y_0)(h_x)=D_{h_x}f(x_0;y_0):=\lim_{\mathbb{R}^+\ni t\to 0}\frac{f(x_0+th_x,y_0)-f(x_0,y_0)}{t}=(4x_0+y_0)\cdot h_x$$
Fatto ciò, verifico che effettivamente \(\displaystyle f(x_0+h_x,y_0)-f(x_0,y_0)-(4x_0+y_0)\cdot h_x \) sia un \(\displaystyle \mathcal{o}(h_x) \) per \(\displaystyle h_x\to 0 \) e concludo che l'espressione calcolata è proprio la derivata parziale che cercavo.
Alla stessa maniera trovo che \(\displaystyle \partial _y f(x_0,y_0):\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) è la funzione:
$$\partial _y f(x_0,y_0)(h_y)=(x_0+2y_0)\cdot h_y$$
Essendo poi queste due funzioni continue in \(\displaystyle (x_0,y_0) \), posso dire che:
$$f'(x_0,y_0)(h_x,h_y)=\partial _x f(x_0,y_0)(h_x)+\partial _y f(x_0,y_0)(h_y)$$
Poi, voglio trovare la derivata seconda \(\displaystyle f''(x_0,y_0):\mathbb{R}^2\to\mathcal{L}(\mathbb{R}^2,\mathcal{L}(\mathbb{R}^2,\mathbb{R}))\). Senza perdere troppo tempo passando per le derivate parziali, calcolo direttamente:
$$D_{(h_{1_x},h_{1_y})}D_{(h_{2_x},h_{2_y})} f(x_0,y_0) = 4h_{1_x}h_{2_x}+h_{2_x}h_{1_y}+h_{1_x}h_{2_y}+2h_{1_y}h_{2_y}$$
e noto che il fatto che questa espressione sia simmetrica è già un buon indizio per l'esistenza della derivata seconda (in tal caso si avrebbe \(\displaystyle f''(x_0,y_0)(h_{1_x},h_{1_y})(h_{2_x},h_{2_y})=D_{(h_{1_x},h_{1_y})}D_{(h_{2_x},h_{2_y})} f(x_0,y_0) \)).
Verifico dunque che:
$$||f'(x_0+h_{1_x},y_0+h_{1_y})-f'(x_0,y_0)-f''(x_0,y_0)(h_{1_x},h_{1_y})||_{\mathcal{L}(\mathbb{R}^2,\mathbb{R})} = \mathcal{o}(|h_1|_{\mathbb{R}^2})$$
(in particolare ho proprio l'annullamento di quella norma) e ho finito.
Fin qui ho fatto tutto bene?