Derivate di mappe tra spazi vettoriali

[Silent]

Ho capito che in generale, dati due spazi \( \displaystyle (X,|\cdot |_X) \) e \( \displaystyle (Y,|\cdot |_Y) \) , un insieme \( \displaystyle U\subset X \) aperto in \( \displaystyle X \) e una funzione \( \displaystyle f:U\to Y \) , si ha che:

\( \displaystyle f'(x):U\to \mathcal{L}(X,Y) \)
\( \displaystyle f''(x):U\to\mathcal{L}(X,\mathcal{L}(X,Y)) \)

che come concetto astratto è chiaro.
Se prendiamo il caso particolare \( \displaystyle X=Y=\mathbb{R} \) e \( \displaystyle f(x)=x^3 \) , ho che \( \displaystyle f'(x):\mathbb{R}\to \mathcal{L}(\mathbb{R},\mathbb{R}) \) è \( \displaystyle f’(x;h_1)=(3x^2)h_1 \) . Non riesco a fare il passo ulteriore per \( \displaystyle f''(x) \) . Quando normalmente in analisi reale scriviamo che \( \displaystyle f''(x)=6x \) , chi è in realtà la mappa \( \displaystyle f''(x):\mathbb{R}\to \mathcal{L}(\mathbb{R},\mathcal{L}(\mathbb{R},\mathbb{R})) \) ?

PS: \( \displaystyle \mathcal{L}(X,Y) \) è l'insieme delle mappe continue e lineari da \( \displaystyle X \) in \( \displaystyle Y \) .

[solaàl]

Qual è la definizione di spazio duale di uno spazio vettoriale?

[Silent]

Purtroppo non la conosco, nel punto del libro di testo che seguo normalmente in cui viene introdotta la definizione di derivata in questo senso generale, non si parla ancora di spazi duali.
Comunque sono andato a cercarla, dovrebbe essere questa qui sperando che non ci siano errori: https://it.wikipedia.org/wiki/Spazio_duale .

Come mi aiuta ragionare in questi termini?

[dissonance]

L’esempio unidimensionale è così degenere che finisce per essere fuorviante. Ragiona su un esempio di dimensione due, come la funzione \(f(x, y)=2x^2+y^2+xy\), per dirne una. Ti renderai conto che la derivata seconda non può che essere una forma bilineare.

Dopodiché torna alla definizione astratta e cerca di capire perché lo spazio \(L(X, L(X, Y))\) si può identificare con lo spazio \(\mathrm{Bil}(X\times X, Y)\) delle applicazioni bilineari.

[Silent]

Ciao @dissonance, grazie di avermi risposto e scusa se ritorno con qualche giorno di ritardo, è stata una settimana di lavoro pesante e la sera non ho avuto le forze di rimettermici.
Dunque, correggimi se sbaglio nel modo di ragionare.
Comincio col calcolare la derivata prima (in senso astratto) di $f$. Cerco di far vedere che esistono le derivate parziali e che esse sono continue, in modo da poter facilmente concludere.
Se la derivata parziale \(\displaystyle \partial _x f(x_0,y_0):\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) esiste, allora vale che per ogni vettore \(\displaystyle h_x\in\mathbb{R} \):

$$\partial _x f(x_0,y_0)(h_x)=D_{h_x}f(x_0;y_0):=\lim_{\mathbb{R}^+\ni t\to 0}\frac{f(x_0+th_x,y_0)-f(x_0,y_0)}{t}=(4x_0+y_0)\cdot h_x$$

Fatto ciò, verifico che effettivamente \(\displaystyle f(x_0+h_x,y_0)-f(x_0,y_0)-(4x_0+y_0)\cdot h_x \) sia un \(\displaystyle \mathcal{o}(h_x) \) per \(\displaystyle h_x\to 0 \) e concludo che l'espressione calcolata è proprio la derivata parziale che cercavo.
Alla stessa maniera trovo che \(\displaystyle \partial _y f(x_0,y_0):\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) è la funzione:

$$\partial _y f(x_0,y_0)(h_y)=(x_0+2y_0)\cdot h_y$$

Essendo poi queste due funzioni continue in \(\displaystyle (x_0,y_0) \), posso dire che:

$$f'(x_0,y_0)(h_x,h_y)=\partial _x f(x_0,y_0)(h_x)+\partial _y f(x_0,y_0)(h_y)$$

Poi, voglio trovare la derivata seconda \(\displaystyle f''(x_0,y_0):\mathbb{R}^2\to\mathcal{L}(\mathbb{R}^2,\mathcal{L}(\mathbb{R}^2,\mathbb{R}))\). Senza perdere troppo tempo passando per le derivate parziali, calcolo direttamente:

$$D_{(h_{1_x},h_{1_y})}D_{(h_{2_x},h_{2_y})} f(x_0,y_0) = 4h_{1_x}h_{2_x}+h_{2_x}h_{1_y}+h_{1_x}h_{2_y}+2h_{1_y}h_{2_y}$$

e noto che il fatto che questa espressione sia simmetrica è già un buon indizio per l'esistenza della derivata seconda (in tal caso si avrebbe \(\displaystyle f''(x_0,y_0)(h_{1_x},h_{1_y})(h_{2_x},h_{2_y})=D_{(h_{1_x},h_{1_y})}D_{(h_{2_x},h_{2_y})} f(x_0,y_0) \)).
Verifico dunque che:

$$||f'(x_0+h_{1_x},y_0+h_{1_y})-f'(x_0,y_0)-f''(x_0,y_0)(h_{1_x},h_{1_y})||_{\mathcal{L}(\mathbb{R}^2,\mathbb{R})} = \mathcal{o}(|h_1|_{\mathbb{R}^2})$$

(in particolare ho proprio l'annullamento di quella norma) e ho finito.

Fin qui ho fatto tutto bene?

[dissonance]

Si, ma io dicevo, proprio per evitare di impelagarsi in queste lunghe discussioni astratte, di considerare una funzione concreta e semplice.

[Silent]

I calcoli li ho fatti su quella funzione che mi avevi proposto. Forse non ho capito che tipo di calcolo mi avevi chiesto.
Purtroppo ancora non ho capito \(\displaystyle f''(x)=6x \) come si giustifica in termini generali

[gugo82]

Infatti non stai parlando di derivata, ma di differenziale.
Il differenziale secondo di $f(x):=x^3$ in un punto $x_0$ è la forma quadratica:

$text(d)^2 f(x_0; h) := f^{\prime \prime} (x_0)*h^2 = 6x_0*h^2$;

la derivata seconda è solo la matrice simmetrica $1xx1$ (!) che rappresenta il differenziale secondo.

[Silent]

Hai imposto implicitamente \(\displaystyle h_1=h_2=h \) o sbaglio?

Infatti se ripercorro il percorso logico di prima, dico che se \( \displaystyle f''(x_0) \) esistesse, allora con la derivazione ricorsiva rispetto ai vettori generici \( \displaystyle h_1 \) e \( \displaystyle h_2 \) otterrei che:

\( \displaystyle f''(x_0)(h_1,h_2)=6x_0 h_1 \)

ma ovviamente in generale questa espressione non ha proprietà di simmetria, per cui \(\displaystyle f''(x_0):\mathbb{R}\to \mathcal{L}(\mathbb{R},\mathbb{R}) \) non può esistere.

Ho detto cavolate.
Comunque dovrei aver capito: la derivata seconda in $x_0$ in questo caso è la mappa bilineare \(\displaystyle f''(x_0):\mathbb{R}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R} \) che vale \(\displaystyle f''(x_0)(h_1,h_2)=6x_0h_1h_2 \).