Discontinuità e continuità

[tetravalenza]

Ciao, il libro "Calcolo" di Marcellini e Sbordone a pagina 331 introduce la Discontinuità con un esempio di funzione definita a tratti
\[
f(x)=\frac{|x|}{x}
\]
che assume valore costante $1$ se $x>0$ e $-1$ se $x<0$. Cito gli autori:

"è continua per $x\ne 0$, ma non è continua se $x=0$. Il grafico di questa funzione presenta per $x=0$ un salto, appunto una discontinuità".

Però nella dispensa dell'Università viene utilizzata la funzione $1/x^2$ come esempio di funzione continua su tutto il proprio dominio di definizione, cito gli autori della dispensa:

"La funzione $f(x)$ non è definita per $x=0$, e quindi non ha senso chiedersi se è continua in $x_0=0$."

Il lancelotti cataloga le funzioni $x^n$ con $n\in Z$ come funzioni continue sui rispettivi domini di definizione. Inoltre, Lancelotti per quanto riguarda i punti di discontinuità dichiara che

"affinché un punto $x_0$ sia di discontinuità per una funzione $f$, necessariamente $x_0$ deve appartenere a $dom(f)$ e deve essere un punto di accumulazione per $dom(f)$ dato che $f$ è continua nei punti isolati del suo dominio."

Non è in contrasto con quanto affermano Marcellini e Sbordone per il fatto che il punto $x_0=0$ non appartiene al dominio di $f(x)=\frac{|x|}{x}$?

[l'abatefarina]

certamente sono in contrasto, ma puoi trovare tanti altri testi dove viene data una definizione o l'altra
ma in fondo stiamo parlando di definizioni
ad esempio,io prendo la funzione $y=1/(x-1)$
secondo una delle due scuole di pensiero non posso dire che in $x=1$ c'è una discontinuità di seconda specie ?
e chi se ne frega: comunque quando vado a fare lo studio di funzione devo disegnare un bell'asintoto verticale

[tetravalenza]

OK grazie

[axpgn]

Non ci sono due scuole di pensiero, si può parlare di continuità o discontinuità solo per punti del dominio, fuori la funzione non esiste.

[l'abatefarina]

@axpgn
stai negando l'evidenza
non mi sembra che marcellini e sbordone siano gli ultimi arrivati
ma ripeto, non sono gli unici
un po' meno di presunzione,please

[l'abatefarina]

cito testualmente il Fiorenza -Greco
"Si chiamano punti di discontinuità della funzione reale f definita in un insieme X, i punti che sono di accumulazione al finito per X ma non appartengono ad X e i punti di accumulazione che appartengono ad X nei quali la funzione non è continua"
il Fiorenza-Greco quindi ci dice che per la funzione $y=1/(x-1)$ il punto $x=1$ è un punto di discontinuità,per non parlare poi di molti testi di matematica del 5° scientifico( ma vabbè, lì potreste contestarmi che sono poco autorevoli )
ma ,ripeto, io non parteggio per nessuna delle due definizioni ( è chiaro che sono definizioni?) : mi sembra una questione di poca importanza, anche se c'è qualche conseguenza sugli esercizi da assegnare riguardo a questo argomento

il mio intervento era finalizzato solo a confermare all'utente che non tutti i matematici la pensano alla stessa maniera sulla definizione di discontinuità

[axpgn]

@axpgn
stai negando l'evidenza ...

Se ti sente gugo , prova a dirgli che $f(x)=1/x, g(x)=1/x^2, h(x)=|x|/x$ sono discontinue in zero ...
Il fatto è che la continuità ha senso solo nel dominio altrimenti si potrebbe dire, per esempio, che $f(x)=ln(x)$ è discontinua dovunque in $x<0$
E non è affatto di poca importanza dato che esistono un po' di teoremi che utilizzano la continuità come prerequisito

[l'abatefarina]

vedo che non hai letto attentamente la definizione che ho riportato prima , altrimenti non avresti fatto l'esempio
cretino di $y=lnx$
non hai letto neanche che io non parteggio per nessuna delle due definizioni
prendo atto del fatto che secondo te Marcellini,Sbordone,Fiorenza e Greco sono dei deficienti
quindi, solo per questo mi sento di dirti che sei un poveretto
ultima cosa, il dubbio è sul concetto di discontinuità, non di continuità( neanche questo sei riuscito a capire?)
sulla definizione di continuità c'è l'unanimità

[axpgn]

Qualche spunto qui e là ...

@l'abatefarina

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Peraltro non ho mai dato del deficiente a nessuno in vita mia e non mi pare proprio di averlo fatto ora.
E per quanto riguarda l'esempio "cretino" di $f(x)=ln(x)$, avevo letto che parlava di punti di accumulazione ma estendere la definizione della "sola" discontinuità (slegandola dalla continuità ovvero "discontinuo=non continuo") al fine di identificare punti che "potrebbero" diventare "continui" se "riportati" e "ridefiniti" all'interno del dominio, mi pare uno sforzo che crea più confusione che altro ... IMHO

Peraltro non capisco questa reazione, mi pare solo di avere espresso un mio parere, in modo normale, discutibile quanto vuoi ma è il mio parere ... che ci posso fare ...

Cordialmente, Alex

[l'abatefarina]

indirettamente lo hai dato perche sì , te lo confermo,secondo i matematici che ho citato
la funzione $y=1/x$ ha una discontinuità in $ x=0 $e tu hai detto che questa è un'affermazione ridicola; hai riso di loro, io ho riportato solo il loro punto di vista
ribadisco che l'esempio è cretino perchè $0$ è punto di accumulazione per il dominio di $y=lnx$, non certo un qualsiasi numero negativo

ma la cosa più grave è che tu non hai capito ancora che per me non c'è una definizione giusta e una sbagliata
Hai fatto polemica su questa mio concetto : "Non tutti i matematici danno la stessa definizione di discontinuità"
Negare ciò, è come negare che il sole sorge al mattino e tramonta la sera