Matematicamente.it

l'abatefarina ha scritto:indirettamente lo hai dato ...

Dove? Quando? Indirettamente?

l'abatefarina ha scritto:... tu hai detto che questa è un'affermazione ridicola; ...

Dove? Quando?

l'abatefarina ha scritto:... hai riso di loro, ...

Dove? Quando?
Per favore, non fare il processo alle intenzioni, ho solo espresso il mio punto di vista (che poi non è solo mio)

Ti ripeto che avevo letto quella definizione e so cos'è un punto di accumulazione, l'esempio che ho fatto era solo per evidenziare che se si prendono in considerazione anche punti fuori dal dominio puoi avere definizioni che portano a situazioni contradditorie.

Inoltre non ho negato affatto che tra i matematici possano esserci visioni diverse, questo è del tutto normale, ma volevo sottolineare il fatto che la definizione decisamente prevalente non è quella che citi.

Dici che sul concetto di continuità c'è unanimità ovvero diciamo che una funzione è continua se tutti i suoi punti sono punti di continuità; ok?
Allora possiamo dire che la funzione $f(x)=|x|/x$, definita su tutto $RR$ tranne che in zero, è continua; ok?
Secondo la definizione di discontinuità che citi però avremmo un punto di discontinuità in $x=0$ ovvero la nostra funzione non è continua.
Allora quella funzione è continua oppure no?
Come vedi quella "estensione" della continuità non mi pare sia utile anzi ... IMHO

Cordialmente, Alex

Quella definizione di discontinuità sul Fiorenza & Greco l'ho sempre trovata una nota stonata su un testo altrimenti ben fatto.

dice axpgn
Secondo la definizione di discontinuità che citi però avremmo un punto di discontinuità in x=0 ovvero la nostra funzione non è continua.
Allora quella funzione è continua oppure no?

nessuno matematico dirà che è continua : qualcuno dirà che è discontinua, qualcuno che non ha senso porsi la domanda
viceversa, se un matematico dice che una funzione è continua in un punto nessun matematico lo contraddirà
è tanto difficile da capire ?

dice axpgn
Inoltre non ho negato affatto che tra i matematici possano esserci visioni diverse, questo è del tutto normale, ma volevo sottolineare il fatto che la definizione decisamente prevalente non è quella che citi.

Mai detto che sia prevalente

Viceversa tu hai detto

axpgn ha scritto:Non ci sono due scuole di pensiero, si può parlare di continuità o discontinuità solo per punti del dominio, fuori la funzione non esiste

Per la verità mi sembra che non si possa parlare nemmeno di 'scuole di pensiero', visto che la questione non è di grande rilevanza teorica, basta intendersi.
Nella mia esperienza di corsi al Dipartimento di matematica alla Sapienza non ho mai visto professori dare importanza a questa questione, e gli stessi professori, parlando, oscillavano tra una definizione e l'altra, senza darvi importanza.

Scrive Giusti (la cui opinione trovo sempre autorevole) in Analisi I, 3° ed. p. 228, a proposito dei punti di discontinuità:

"A volte, come ad esempio nel caso di $(sin (x))/x$, può accadere che una funzione abbia limite per $ xrarr x_0 $ , ma non sia definita nel punto $x_0$. Anche in questo caso, benché a rigore non sia possibile parlare della continuità di $f(x)$ in $x_0$ (perché si possa parlare di continuità di una funzione in un punto, occorre che la funzione sia definita in quel punto), si dice che la funzione ha una discontinuità eliminabile [...]."

Si tratta quindi di usanze. Probabilmente queste usanze e una definizione come quella di Fiorenza-Greco hanno in mente di salvaguardare l'idea intuitiva di una funzione continua come funzione 'tutta di un pezzo': si usa dire che $(sin (x))/x$ è discontinua, a nessuno verrebbe mai in mente di dire che il logaritmo è discontinuo.

l'abatefarina ha scritto:Mai detto che sia prevalente

Viceversa tu hai detto

axpgn ha scritto:Non ci sono due scuole di pensiero, si può parlare di continuità o discontinuità solo per punti del dominio, fuori la funzione non esiste

Perché lo è.
Ovvero è prevalente la definizione che sostengo.

Hai letto i link che ti ho postato? Hai letto ciò che ha detto gugo? Hai letto ciò che ha postato gabriella ovvero ciò che dice Giusti?

E pure sul fatto che sia poco importante non sono d'accordo: quanti teoremi hanno tra le ipotesi la continuità di una funzione? Un sacco ...

Tra l'altro, quante volte ho letto gugo sostenere, senz'ombra di dubbio, che $f(x)=1/x$ è continua?
E il forum è pieno di situazioni simili ... quindi non è vero che "nessun matematico dirà che è continua" dato che almeno uno c'è l'abbiamo (a meno che tu sostenga che gugo non lo sia ... )

Ok, benissimo, quando vi sarete accordati fatemelo sapere ...

E, ripeto, io non ho mai offeso nessuno ...