Convergenza della serie

Salve ragazzi, devo studiare la convergenza di questa serie
$ sum_(n = \1)^(infty) ln^2(n+2)/n^2 $

Ho studiato la serie con il criterio degli infinitesimi e la serie converge.

Ora il mio dubbio è, avrei potuto notare che converge considerandola una serie armonica con $ alpha $ (esponente del denominatore) >1? Se si come posso mostrarlo? basta far vedere che $ sum_(n = \1)^(infty) ln^2(n+2)/n^2 = sum_(n = \1)^(infty) ln^2 (n+2)*(1)/n^2 $
Non credo basti, ho provato a studiarla per confronto asintotico ma non ne vengo a capo. Mi date una mano?

Puoi ricondurti alla serie armonica considerando un confronto asintotico con $a_n=\frac{\ln^2 n}{n^2}$, quest'ultima è una serie armonica generalizzata del tipo $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^{\alpha} \ln^{\beta} n$.
Considerare brutalmente quel prodotto che hai scritto, come hai giustamente detto, non basta.

Ciao vitoci,

Farei così:

$\sum_{n = 1}^{+\infty} ln^2(n+2)/n^2 = \sum_{n = 1}^{+\infty} [ln n(1+2/n)]^2/n^2 = \sum_{n = 1}^{+\infty} (ln^2 n + 2 ln n ln(1 + 2/n) + ln^2(1 + 2/n))/n^2 = $
$ = \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/(n^2 ln^{-2}n) + 2 \sum_{n = 1}^{+\infty}(ln(1 + 2/n))/(n^2 ln^{-1}n)+ \sum_{n = 1}^{+\infty}(ln^2(1 + 2/n))/n^2 $

Ora:
1) la prima serie scritta è la serie armonica generalizzata di tipo II con $\alpha = 2 $ e $\beta = - 2 $ che è convergente;
2) la seconda serie scritta si comporta come la serie $4 \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/(n^3 ln^{- 1} n) $ che è ancora una serie armonica generalizzata di tipo II con $\alpha = 3 $ e $\beta = - 1 $ che è convergente;
3) l'ultima serie scritta si comporta come la serie $4 \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^4 $ che è la serie armonica generalizzata con $\alpha = 4 $, notoriamente convergente.

EDIT: ops, chiedo scusa, mi sono accorto in ritardo che Mephlip ti aveva già risposto. C'è di buono che non abbiamo scritto cose contraddittorie, puoi perfino scegliere come operare...

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Pilloeffe, questo forum è troppo piccolo per entrambi *rotolacampo che vola*

$\sum_{n = 1}^{+\infty} ln^2(n+2)/n^2 = \sum_{n = 1}^{+\infty} [ln n(1+2/n)]^2/n^2$

C'è un typo qua

C'è un typo qua

Scusa Mephlip, starò rimbambendo, ma non lo vedo...
O forse intendi che non ho messo la parentesi sull'argomento del logaritmo? In questo caso l'ho fatto apposta per non appesantire troppo la notazione con le parentesi, tanto dovrebbe capirsi che

$ln^2(n + 2) = [ln(n + 2)]^2 = [ln(n(1 + 2/n))]^2 = [ln n + ln(1 + 2/n)]^2 = ... $

Sì, era quello! Allora non era un vero e proprio typo, scusami

@ vitoci: La serie converge perché gli addendi sono infinitesimi d'ordine $>3/2$.

Sì, era quello! Allora non era un vero e proprio typo, scusami

Ma di niente, figurati!
Diciamo anche che in generale le parentesi preferisco evitarle quando si capisce dal contesto per evitare appesantimenti nelle notazioni. Tanto per fare un esempio, c'è chi scrive $ln(n) $: ora io non dico che sia sbagliato perché non sarebbe vero, ma quando non ci sono dubbi, come in questo caso, personalmente prediligo la più semplice notazione $ln n $
Invece chiaramente è diverso scrivere $ln n + 2 $ e $ln(n + 2) $: in questo caso le parentesi sono obbligatorie.
Ho notato che molti lo fanno anche con le funzioni trigonometriche: $sin(x)$, $cos(x)$, $tan(x)$, ... Quando il contesto non lascia dubbi, personalmente preferisco le più semplici notazioni $sin x$, $cos x$, $tan x$, ...