Punti critici determinante Hessiana nullo

Salve, una volta trovati i punto critici $(alpha,0)$ e $(0, beta)$ per studiarne la natura il testo studia in un intorno di essi, cosa significa?
Come faccio a determinarne la natura?
Grazie

“Che significa” dovresti saperlo da Analisi I… Cosa vuol dire “intorno ad un punto”?

“Come faccio a determinarne la natura” dipende: comincia ad usare il solito test dell’hessiano, poi se fallisce vediamo.

Non intendevo quello, forse mi sono spiegato male io, il determinante dell’hessiana è nullo per qualsiasi valore di $alpha$ e $beta$, quindi non saprei? È corretto studiare il segno della funzione per i punti $(alpha,0)$ e $(beta,0)$?

Quindi per $(alpha,0)$ avrei che il segno dipende da $x^3$ e da $1-x-y$ , che posso considerare solo come $1-x$ dato che y=0, visto che sono in un intorno di y=0 e da lì vedere quando la funzione è positiva/negativa.
E per $(beta,0)$ ho: $x^3>0$ solo se x>0, quindi necessariamente i punti $(beta,0)$ sono tutti di sella?
È corretto?
Esiste un metodo ulteriore, magari più semplice?

Ho sbagliato, è 0,beta il secondo

@Andretop
Vorrei davvero consigliarti di esplorare il forum, in fondo queste domande sono state poste (e hanno ricevuto diverse risposte) millanta volte. Troverai decine di esercizi (talvolta ripetuti) con utilissime risposte per esercitarti.
Prima di provare a risolvere da solo gli esercizi proposti nel forum (e solo dopo leggere le risposte), personalmente farei una cosa che mi tornerebbe utile anche in futuro e (per astrazione) anche in spazi n-dimensionali (con le dovute eccezioni): ovvero formarmi anche una comprensione geometrica del problema e quindi del significato di strumenti come derivate parziali prima e seconde e l'hessiana in $RR^3$.

Il mio è solo un suggerimento perchè io stesso ho sempre usato i forum in questo modo e so che le persone (specie con questo caldo) non hanno voglia di riscrivere le stesse cose che hanno scritto in passato.

Abituati a chiedere quello che realmente vuoi sapere, non altro.
Ed abituati ad accoppiare qualche calcolo alle tue domande, per facilitare gli altri utenti.

Ad ogni buon conto, sì, lo studio del segno può essere una buona idea.
In particolare, ti interessa il segno di $Delta f = f(x,y) - f(alpha, 0)$ intorno al punto $(alpha, 0)$ (con $alpha in RR$).
Visto che $f(alpha,0) = 0$, studiare il segno di $Delta f$ equivale a studiare il segno della sola $f(x,y)$, i.e. a risolvere $x^3 y^2 (1 - x - y) >=0$, intorno ad $(alpha, 0)$.
Risolvendo, si trova il seguente diagramma di segni:

        Internet Explorer richiede Adobe SVG Viewer per visualizzare il grafico

da cui si trae che:

• i punti $(alpha, 0)$ con $alpha >1$ o $alpha <0$ sono massimi;
  
  
• i punti $(alpha, 0)$ con $0< alpha < 1$ sono minimi;
  
  
• i punti $(0,0)$ ed $(1,0)$ non sono né l’uno né l’altro.

Il ragionamento per gli altri punti è analogo.

Grazie mmille

Ciao AndretopC0707,

Non entro nel merito di ciò che hai chiesto, anche perché ti hanno già risposto compiutamente nei post precedenti...
Rilevo però con rammarico che dopo 320 messaggi ancora posti foto nell'OP che alla lunga spariscono rendendo il thread poco significativo e la cosa più difficile da scrivere sarebbe stata

La funzione $f$ è di classe $C^2(\RR^2) $.

Codice:

La funzione $f$ è di classe $C^2(\RR^2) $.


Grazie mmille