Beh, si chiamano così.
Oltre a quella segnalata sopra, che si applica quando il dominio d’integrazione è normale rispetto all’asse $x$, cioè se $E := \{ a<= x <= b,\ alpha(x) <= y <= beta(x)\}$ (con $alpha, beta : [a,b] -> RR$ ed $alpha(x) <= beta(x)$ in $[a,b]$), c'è anche l’altra:
$ intint_E f(x,y)"d"x"d"y = int_alpha^beta (int_(a (y))^(b(y)) f(x,y) "d"x)"d"y $
che si applica quando $E$ è normale all’asse $y$, ossia quando $E := \{ alpha <= y <= beta,\ a(y) <= x <= b(y)\}$ (con $a, b : [alpha,beta] -> RR$ ed $a(y) <= b(y)$ in $[alpha,beta]$).
Evidentemente, esistono casi in cui il dominio d’integrazione è simultaneamente normale all’asse $x$ ed all’asse $y$, quindi le formule si possono applicare entrambe e bisogna scegliere quale è più conveniente.
Nel caso che hai davanti:
se consideri $E$ normale rispetto ad $x$ la funzione $beta$ che delimita superiormente il dominio è definita per casi:
$beta(x) := \{(x^2, text(, se ) 0<= x <=1), (sqrt(2x - x^2), text(, se ) 1<= x <=2):}$
(mentre la funzione che delimita inferiormente $E$ è quella nulla $alpha(x) := 0$), quindi il calcolo dell’integrale interno (quello rispetto ad $y$) va fatto usando la proprietà additiva.
Tuttavia, se cambi il punto di vista e consideri il dominio normale rispetto ad $y$ non c'è bisogno di usare proprietà dell’integrale nel calcolo: infatti il tuo dominio è individuato dalle limitazioni:
$0<= y <=1, \ sqrt(y) <= x <= 1 + sqrt(1-y^2)$
(che si ottengono esplicitando le equazioni dei bordi “curvi” rispetto ad $x$ anziché rispetto ad $y$) e perciò:
$I = int_0^1( int_(sqrt(y))^(1+sqrt(1-y^2)) xy text( d) x) text(d) y$.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
