Matematicamente.it

buonasera, sto trovando difficoltà a capire come risolvere l'integrale della funzione $f(x,y)=xy$ $dxdy$ sull'insieme $E={x>=0;0<=y<=x^2;x^2+y^2-2x<=0}$

ho disegnato l'insieme ma non riesco a comprendere come ragionare per trovare entro quali valori di $x$ e di $y$ debba integrare la $f(x,y)$

dal grafico e dalle condizione di $E$ ho ipotizzato che $y$ debba soddisfare $0<=y<=x^2$ mentre la $x$ deve soddisfare $x(x-1)<=0$ e dunque $0<=x<=1$.
potrebbe essere corretto?

Grazie

la regione $E$ è contenuta nella parte di semicerchio superiore ,delimitato dalla circonferenza di centro $(1,0)$ e raggio $1$, che si trova al di sotto della parabola $y=x^2$
la circonferenza e la parabola si intersecano in $(0,0)$ e $(1,1)$
comincia a ragionare su questo

Quello dal grafico lo avevo notato facendo anche io conti puri a mano.

Si che debba fare un integrale doppio l'ho compreso, ma non mi è chiaro su quali valori debba variare la $y$ e su quali la $x$ all'interno dell'insieme $E$.

All'inizio,sbagliando, pensavo che $0<=x<=2$ e $0<=y<=1$ ma poi non mi torno il risultato della soluzione!

Aletzunny ha scritto:dal grafico e dalle condizione di $E$ ho ipotizzato che y debba soddisfare $0≤y≤x^2$ mentre la $x$ deve soddisfare $x(x−1)≤0$ e dunque $0≤x≤1$.

Non può essere corretto, perché così è come se integrassi solamente la regione al di sotto della parabola $y=x^2$ nell'intervallo $x\in[0,1]$ contenuta nel primo quadrante.
Per lo stesso motivo non poteva essere corretto $0 \leq x \leq 2$ e $0 \leq y \leq 1$, quest'ultimo insieme è un rettangolo.
Segui il suggerimento di l'abatefarina e ragiona sulle intersezioni (se proprio vuoi considerarlo come insieme normale rispetto all'asse $x$).

quando $x$ varia tra $0$ e $1$ la $y$ varia tra $0$ e $x^2$
quando $x$ varia tra $1$ e $2$ la $y$ varia tra $0$ e $sqrt(2x-x^2)$

Mephlip ha scritto:

Aletzunny ha scritto:dal grafico e dalle condizione di $E$ ho ipotizzato che y debba soddisfare $0≤y≤x^2$ mentre la $x$ deve soddisfare $x(x−1)≤0$ e dunque $0≤x≤1$.

Non può essere corretto, perché così è come se integrassi solamente la regione al di sotto della parabola $y=x^2$ nell'intervallo $x\in[0,1]$ contenuta nel primo quadrante.
Per lo stesso motivo non poteva essere corretto $0 \leq x \leq 2$ e $0 \leq y \leq 1$, quest'ultimo insieme è un rettangolo.
Segui il suggerimento di l'abatefarina e ragiona sulle intersezioni (se proprio vuoi considerarlo come insieme normale rispetto all'asse $x$).

Ecco! Nonostante il grafico l'ho fatto corretto sto trovando davvero tante difficoltà a svolgere gli integrali doppi!

Ora, che mi è stato scritto, sembra tutto chiaro e con molto più senso!
Grazie

l'abatefarina ha scritto:quando $x$ varia tra $0$ e $1$ la $y$ varia tra $0$ e $x^2$
quando $x$ varia tra $1$ e $2$ la $y$ varia tra $0$ e $sqrt(2x-x^2)$

Grazie mille, in effetti cosi ha senso!

Aletzunny, guarda che il tuo dominio d'integrazione è normale all'asse $y$... Potresti provare a vedere se i calcoli sono più semplici così.

gugo82 ha scritto:Aletzunny, guarda che il tuo dominio d'integrazione è normale all'asse $y$... Potresti provare a vedere se i calcoli sono più semplici così.

Ho provato a risolverlo cosi come suggerito precedente i conti sono venuti abbastanza semplici, trovando un risultato di $13/24$.

Tuttavia sono curioso di capire: cosa si intende per normale all'asse $y$ e come ciò influisce sulla semplificazione del risultato?
Grazie

Scusa, ma le formule di riduzione sai cosa sono e quando si applicano?