coordinate polari integrale doppio

[Aletzunny]

si si sullo spezzare l'integrale non ho problemi e ho capito il meccanismo

[Aletzunny]

provo a scrivere un attimo fino a dove sono arrivato con i vostri suggerimenti:

io ho le due circonferenza che mi formano una specie di caramella e si intersecano in $(0,0)$ e $(1,1)$. quindi un punto all'interno di queste parte può avere un angolo compreso tra $0<=theta<=pi/4$ se è sotto la retta $y=x$ e un angolo $0<=theta<=pi/2$ se sta sopra.

ora però perchè devo considerare il minimo? non mi è chiarissimo

[Mephlip]

Stiamo considerando le coordinate polari con polo (suppongo) nell'origine $O$, quindi il raggio $\rho$ descrive la distanza da $O$ ad un arbitrario elemento di $F$ al variare di $\theta$ nell'intervallo $\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$.
Dunque per descrivere i punti al di sotto della bisettrice è necessario che il raggio descriva i punti del tipo $y<x$, perciò è richiesto che $\sin \theta$ sia minore di $\cos \theta$; analogamente, per descrivere i punti al di sopra della bisettrice è necessario che il raggio descriva i punti del tipo $y>x$, perciò è richiesto che $\sin \theta$ sia maggiore di $\cos \theta$.
Il tutto ristretto al primo quadrante in quanto deve essere $x \geq 0$ ed $y \geq 0$, ossia per $\theta \in \left[0,\frac{\pi}{2}\right]$.
Quelle due condizioni si comprimono in una sola, imponendo che $\rho$ sia il minimo tra $\sin \theta$ e $\cos \theta$ al variare di $\theta \in \left[0,\frac{\pi}{2}\right]$.

e un angolo $0<=theta<=pi/2$ se sta sopra.

Occhio che qui è $\frac{\pi}{4} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$.

[gugo82]

Facendo un disegno:

        Internet Explorer richiede Adobe SVG Viewer per visualizzare il grafico

si vede che per $0 <= theta <= pi/4$ succede qualcosa del tipo $0<= rho <= r_1(theta)$, mentre per $pi/4 <= theta <= pi/2$ accade che $0<= rho <= r_2(theta)$.
Quindi il tuo $E$ proviene da un dominio normale all’asse $theta$ del piano $Otheta rho$, precisamente da un dominio $D$ individuato dalle limitazioni:

$0 <= theta <= pi/2,\ 0<= rho <= r(theta)$ con $r(theta) := \{(r_1(theta), text(, se ) 0 <= theta <= pi/4), (r_2(theta), text(, se ) pi/4 <= theta <= pi/2):}$.

Tutto sta a determinare le due funzioni $r_1$ ed $r_2$.
La prima è data, al variare di $theta$ tra $0$ e $pi/4$, dal raggio vettore del punto di intersezione della semiretta di origine $O$ ed anomalia $theta$ con la circonferenza di equazione $gamma_1: x^2 + y^2 - 2y =0$; visto che i punti della semiretta hanno coordinate $s:\{( x = r cos theta), (y=r sin theta):}$, quindi i punti di intersezione tra $s$ e $gamma_1$ si trovano in corrispondenza delle soluzioni $r>= 0$ dell’equazione

$r^2 - 2 r sin theta = 0$

da cui ricavi $r=0$ e $r = 2 sin theta$; ad $r=0$ corrisponde sempre il punto $O$, quindi poco ce ne importa e la soluzione che davvero ci interessa è $r_1(theta) = 2 sin theta$.
Analogamente, ma usando l’altra circonferenza, trovi $r_2(theta) = 2 cos theta$.

Quindi il tuo integrale $I$ in polari è:

$I = int_0^(pi/4) (int_0^(2 sin theta) rho^2 text( d) rho) text(d) theta + int_(pi/4)^(pi/2) (int_0^(2cos theta) rho^2 text( d) rho) text(d) theta$.

Tuttavia, facendo nel secondo integrale il cambiamento di variabile $theta = pi/2 - alpha$ trovi:

$int_(pi/4)^(pi/2) (int_0^(2cos theta) rho^2 text( d) rho) text(d) theta = int_0^(pi/4) (int_0^(2 sin alpha) rho^2 text( d) rho) text(d) alpha$

e da ciò (visto che la variabile d’integrazione è muta) segue che:

$I = 2 int_0^(pi/4) (int_0^(2 sin theta) rho^2 text( d) rho) text(d) theta$.

[Aletzunny]

Stiamo considerando le coordinate polari con polo (suppongo) nell'origine $O$, quindi il raggio descrive la distanza da $\rho$ ad un arbitrario elemento di $F$ al variare di $\theta$ nell'intervallo $\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$.
Dunque per descrivere i punti al di sotto della bisettrice è necessario che il raggio descriva i punti del tipo $y<x$, perciò è richiesto che $\sin \theta$ sia minore di $\cos \theta$; analogamente, per descrivere i punti al di sopra della bisettrice è necessario che il raggio descriva i punti del tipo $y>x$, perciò è richiesto che $\sin \theta$ sia maggiore di $\cos \theta$.
Il tutto ristretto al primo quadrante in quanto deve essere $x \geq 0$ ed $y \geq 0$, ossia per $\theta \in \left[0,\frac{\pi}{2}\right]$.
Quelle due condizioni si comprimono in una sola, imponendo che $\rho$ sia il minimo tra $\sin \theta$ e $\cos \theta$ al variare di $\theta \in \left[0,\frac{\pi}{2}\right]$.

e un angolo $0<=theta<=pi/2$ se sta sopra.

Occhio che qui è $\frac{\pi}{4} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$.

grazie mille! si sopra era un mio errore di battitura

[Aletzunny]

Facendo un disegno:

        Internet Explorer richiede Adobe SVG Viewer per visualizzare il grafico

si vede che per $0 <= theta <= pi/4$ succede qualcosa del tipo $0<= rho <= r_1(theta)$, mentre per $pi/4 <= theta <= pi/2$ accade che $0<= rho <= r_2(theta)$.
Quindi il tuo $E$ proviene da un dominio normale all’asse $theta$ del piano $Otheta rho$, precisamente da un dominio $D$ individuato dalle limitazioni:

$0 <= theta <= pi/2,\ 0<= rho <= r(theta)$ con $r(theta) := \{(r_1(theta), text(, se ) 0 <= theta <= pi/4), (r_2(theta), text(, se ) pi/4 <= theta <= pi/2):}$.

Tutto sta a determinare le due funzioni $r_1$ ed $r_2$.
La prima è data, al variare di $theta$ tra $0$ e $pi/4$, dal raggio vettore del punto di intersezione della semiretta di origine $O$ ed anomalia $theta$ con la circonferenza di equazione $gamma_1: x^2 + y^2 - 2y =0$; visto che i punti della semiretta hanno coordinate $s:\{( x = r cos theta), (y=r sin theta):}$, quindi i punti di intersezione tra $s$ e $gamma_1$ si trovano in corrispondenza delle soluzioni $r>= 0$ dell’equazione

$r^2 - 2 r sin theta = 0$

da cui ricavi $r=0$ e $r = 2 sin theta$; ad $r=0$ corrisponde sempre il punto $O$, quindi poco ce ne importa e la soluzione che davvero ci interessa è $r_1(theta) = 2 sin theta$.
Analogamente, ma usando l’altra circonferenza, trovi $r_2(theta) = 2 cos theta$.

Quindi il tuo integrale $I$ in polari è:

$I = int_0^(pi/4) (int_0^(2 sin theta) rho^2 text( d) rho) text(d) theta + int_(pi/4)^(pi/2) (int_0^(2cos theta) rho^2 text( d) rho) text(d) theta$.

Tuttavia, facendo nel secondo integrale il cambiamento di variabile $theta = pi/2 - alpha$ trovi:

$int_(pi/4)^(pi/2) (int_0^(2cos theta) rho^2 text( d) rho) text(d) theta = int_0^(pi/4) (int_0^(2 sin alpha) rho^2 text( d) rho) text(d) alpha$

e da ciò (visto che la variabile d’integrazione è muta) segue che:

$I = 2 int_0^(pi/4) (int_0^(2 sin theta) rho^2 text( d) rho) text(d) theta$.

grazie mille! spiegazione chiarissima tranne per un mio dubbio(probabilmente stupido)..perchè diventano $2sin(alpha)$ e non $2sin(pi/2 -alpha)$
grazie

[gugo82]

Ale, torno a dirti che dovresti ripetere un po’ di Matematica delle superiori.
In questo caso, le formule degli archi associati.

[Aletzunny]

Ale, torno a dirti che dovresti ripetere un po’ di Matematica delle superiori.
In questo caso, le formule degli archi associati.

Si hai ragione! Ho fatto gli archi associati per $cos(theta)=sin(pi/2-alpha)$ ma non ci sono arrivato a farla anche per il secondo $sin$

Le formule le conosco, ma non riesco mai ad arrivarci...mi fa imbestialire questo aspetto

[gugo82]

$cos theta \stackrel{theta = pi/2 - alpha}{=} cos( pi/2 - alpha) = sin alpha$.

[Aletzunny]

$cos theta \stackrel{theta = pi/2 - alpha}{=} cos( pi/2 - alpha) = sin alpha$.

Grazie mille