Esercizio su integrali doppi in domini semplici

[smule98]

Ciao ragazzi ho un dubbio su questo esercizio:

$\int int_{B} ycosxdxdy$ con $B={(x,y):0<=y<=sinx,0<=x<=\pi}$

Procedo in questo modo:

$\int_{0}^{\pi}(\int_{0}^{sinx}ycosxdy)dx=$

$=cosx\int_{0}^{sinx}ydy=$

$=cosx*(sin^2x)/2$

$\int_{0}^{\pi}cosx*(sin^2x)/2dx$

Faccio una sostituzione

$t=sinx rarr dt=cosx dx$

L'integrale però ora va da 0 a 0 con questa sostituzione e quindi poi il risultato mi porta a 0... Dove sbaglio? grazie

[Pierlu11]

Il valore di quell'integrale è effettivamente $0$... l'errore però sta nel fatto che il seno non è invertibile nel tuo intervallo di integrazione e quindi quella sostituzione non è corretta. Dovresti spezzare l'intervallo in due (il primo da $0$ a $\frac{\pi}{2}$ e il secondo da $\frac{\pi}{2}$ a $\pi$) così eviti il problema degli estremi uguali visto che il seno sarà invertibile in entrambi i nuovi intervalli e potrai applicare quella sostituzione senza problemi.
Oppure evita la sostituzione e osserva che $\cos x$ è la derivata di $\sin x$ e ti permette di applicare la regola dell'integrale della potenza ($\int f'(x) [f(x)]^{\alpha}dx$).

[smule98]

Chiaro, grazie mille
Un altra domanda.
In un esercizio mi viene dato da integrare $\int int_{D}1/(xy)dxdy$ dove D è il quadrilatero individuato dalle quattro rette di equazione $y=x$, $y=2x$, $x+y=1$, $x+y=3$

Graficamento ho trovato il quadrilatero e ho pensato di trovarmi i 4 punti di intersezione per delimitare l'area.

Facendo i vari sistemi ho trovato $P_1(3/2,3/2)$, $P_2(1/3,2/3)$, $P_3(1/2,1/2)$, $P_4(1,2)$
Per trovare il dominio ho pensato quindi di impostarlo così: $\Omega={(x,y):1/3<=x<=1,1-x<=y<=3-x}$
Non so se il ragionamento è corretto

[l'abatefarina]

può essere che sia più semplice ma io ho spezzato in 3 integrali doppi con queste limitazioni

$1/3<=x<=1/2$ $1-x<=y<=2x$
$1/2<=x<=1$ $x<=y<=2x$
$1<=x<=3/2$ $x<=y<=3-x$

[Mephlip]

Hai provato la sostituzione $\frac{y}{x}=u$ e $x+y=v$? Dovrebbe trasformare il tuo insieme di integrazione in un rettangolo.

[smule98]

Scusami ma non ho capito il criterio che hai usato per spezzarli in questo modo

[l'abatefarina]

a parte il fatto che il suggerimento di mephlip è più efficace del mio, per ogni intervallo delle x che ho scritto ho visto qual è il confine inferiore e superiore della y