Che cambio di variabili in coordinate polari hai fatto?
Se è uno con polo non centrato nell'origine secondo me non ti conviene.
L'insieme viene bene ma la funzione integranda è proibitiva (o addirittura non elementarmente integrabile), quindi secondo me conviene un cambiamento in coordinate polari con polo nell'origine e non con polo nel centro della circonferenza.
Con il polo nell'origine hai $-x^2-y^2=-r^2$, l'insieme di integrazione è un po' più brutto ma dovrebbe funzionare.
Tra l'altro manca pure il modulo del determinante della matrice jacobiana...
Edit: Avevo scritto "probitivo" anziché proibitivo
A spoon can be used for more than just drinking soup. You can use it to dig through the prison you're locked in, or as a weapon to gouge the witch's eyes out. Of course, you can also use the spoon to continually sip the watery soup inside your eternal prison.