Re: Serie termini alterni: convergenza e divergenza

Messaggioda axpgn » 10/07/2020, 15:36

AndretopC0707 ha scritto:... se non caricassi la foto, penso che anche il testo risulterebbe molto meno chiaro

Niente può essere meno chiaro di quella "cosa" :lol:

Il paradosso, poi, sono le "paginate" ed il tempo perso nel giustificarsi ...

Non è stata colpa mia! :lol: :lol: :lol:
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Re: Serie termini alterni: convergenza e divergenza

Messaggioda gugo82 » 11/07/2020, 02:27

Moderatore: gugo82

Anche perché poi, a lungo andare, i moderatori si spazientiscono e cominciano a chiudere thread ed a sospendere le utenze finché non viene rispettato il Regolamento...

Quindi che si fa?
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
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Re: Serie termini alterni: convergenza e divergenza

Messaggioda pilloeffe » 17/07/2020, 00:06

La serie proposta converge per $ x < - 1 \vv x >= 1 $ e se ne può anche determinare in modo relativamente semplice la somma, dato che si ha:

$ \sum_{n = 2}^{+\infty} (-1)^n/((n + 3) x^{n + 2}) = \sum_{n = 2}^{+\infty} (-1)^{n + 2}/((n + 3) x^{n + 2}) = \sum_{n = 2}^{+\infty} 1/(n + 3) (- 1/x)^{n + 2} $

Posto per comodità $y := - 1/x $ e $m := n + 2 $, la serie proposta diventa la seguente:

$ \sum_{m = 4}^{+\infty} y^m/(m + 1) = \sum_{m = 0}^{+\infty} y^m/(m + 1) - 1 - 1/2 y - 1/3 y^2 - 1/4 y^3 = 1/y \sum_{m = 0}^{+\infty} y^{m + 1}/(m + 1) - 1 - 1/2 y - 1/3 y^2 - 1/4 y^3 = $
$ = - (ln(1 - y))/y - 1 - 1/2 y - 1/3 y^2 - 1/4 y^3 $

per $- 1 <= y < 1 $. A questo punto, ricordando che $y := - 1/x $, si ha:

$ \sum_{n = 2}^{+\infty} (-1)^n/((n + 3) x^{n + 2}) = \sum_{n = 2}^{+\infty} 1/(n + 3) (- 1/x)^{n + 2} = x ln(1 + 1/x) - 1 + 1/(2x) - 1/(3x^2) + 1/(4x^3) = $
$ = \frac{12x^4 ln(1 + 1/x) - 12x^3 + 6x^2 - 4x + 3}{12x^3} $

per $x < - 1 \vv x >= 1 $
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