da pilloeffe » 17/07/2020, 00:06
La serie proposta converge per $ x < - 1 \vv x >= 1 $ e se ne può anche determinare in modo relativamente semplice la somma, dato che si ha:
$ \sum_{n = 2}^{+\infty} (-1)^n/((n + 3) x^{n + 2}) = \sum_{n = 2}^{+\infty} (-1)^{n + 2}/((n + 3) x^{n + 2}) = \sum_{n = 2}^{+\infty} 1/(n + 3) (- 1/x)^{n + 2} $
Posto per comodità $y := - 1/x $ e $m := n + 2 $, la serie proposta diventa la seguente:
$ \sum_{m = 4}^{+\infty} y^m/(m + 1) = \sum_{m = 0}^{+\infty} y^m/(m + 1) - 1 - 1/2 y - 1/3 y^2 - 1/4 y^3 = 1/y \sum_{m = 0}^{+\infty} y^{m + 1}/(m + 1) - 1 - 1/2 y - 1/3 y^2 - 1/4 y^3 = $
$ = - (ln(1 - y))/y - 1 - 1/2 y - 1/3 y^2 - 1/4 y^3 $
per $- 1 <= y < 1 $. A questo punto, ricordando che $y := - 1/x $, si ha:
$ \sum_{n = 2}^{+\infty} (-1)^n/((n + 3) x^{n + 2}) = \sum_{n = 2}^{+\infty} 1/(n + 3) (- 1/x)^{n + 2} = x ln(1 + 1/x) - 1 + 1/(2x) - 1/(3x^2) + 1/(4x^3) = $
$ = \frac{12x^4 ln(1 + 1/x) - 12x^3 + 6x^2 - 4x + 3}{12x^3} $
per $x < - 1 \vv x >= 1 $