Matematicamente.it

AndretopC0707 ha scritto:... se non caricassi la foto, penso che anche il testo risulterebbe molto meno chiaro

Niente può essere meno chiaro di quella "cosa"

Il paradosso, poi, sono le "paginate" ed il tempo perso nel giustificarsi ...

Non è stata colpa mia!

La serie proposta converge per $ x < - 1 \vv x >= 1 $ e se ne può anche determinare in modo relativamente semplice la somma, dato che si ha:

$ \sum_{n = 2}^{+\infty} (-1)^n/((n + 3) x^{n + 2}) = \sum_{n = 2}^{+\infty} (-1)^{n + 2}/((n + 3) x^{n + 2}) = \sum_{n = 2}^{+\infty} 1/(n + 3) (- 1/x)^{n + 2} $

Posto per comodità $y := - 1/x $ e $m := n + 2 $, la serie proposta diventa la seguente:

$ \sum_{m = 4}^{+\infty} y^m/(m + 1) = \sum_{m = 0}^{+\infty} y^m/(m + 1) - 1 - 1/2 y - 1/3 y^2 - 1/4 y^3 = 1/y \sum_{m = 0}^{+\infty} y^{m + 1}/(m + 1) - 1 - 1/2 y - 1/3 y^2 - 1/4 y^3 = $
$ = - (ln(1 - y))/y - 1 - 1/2 y - 1/3 y^2 - 1/4 y^3 $

per $- 1 <= y < 1 $. A questo punto, ricordando che $y := - 1/x $, si ha:

$ \sum_{n = 2}^{+\infty} (-1)^n/((n + 3) x^{n + 2}) = \sum_{n = 2}^{+\infty} 1/(n + 3) (- 1/x)^{n + 2} = x ln(1 + 1/x) - 1 + 1/(2x) - 1/(3x^2) + 1/(4x^3) = $
$ = \frac{12x^4 ln(1 + 1/x) - 12x^3 + 6x^2 - 4x + 3}{12x^3} $

per $x < - 1 \vv x >= 1 $