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Ciao ragazzi, ho assoluto bisogno di voi , no a parte gli scherzi, ho seriamente un dubbio da cui non riesco a uscire e che mi sta facendo rivedere una cosa tanto semplice ma di cui ero convito fin dalle superiori e credo mi stia mandando ai matti. Proverò a spiegarmi meglio che posso, in caso non fossi molto chiaro proverò a integrare nei post successivi sperando, come al solito, grazie all'aiuto di qualcuno più preparato di uscirne nonostante la mia idiozia. Vediamo...

In principio è la arcinota
$\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| <\varepsilon $

Io l'ho sempre letta così: fisso un epsilon, dato un tale epsilon io trovo di conseguenza un delta, noto questo fissato epsilon e delta cioè che faccio è controllare se $x-x_0$ risulta dentro al raggio delta e se cio' implica che $|f(x) - l|$ è minore del raggio iniziale sono a cavallo e ho la definizione di limite verificata.

Tutto bello e idilliaco finché mi scontro con una dimostrazione in cui si arriva a:
$\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| <k*\varepsilon $, sia k>0 in tal caso.

Ecco, quel k mi manda in crisi: perché ora la definizione par essere, fisso un epsilon, dato un tale epsilon io trovo di conseguenza un delta, noto questo fissato epsilon e delta cioè che faccio è controllare se $x-x_0$ risulta dentro al raggio delta e se cio' implica che $|f(x) - l|$ è minore del raggio moltiplicato per una costante k anche qusto verifica la definizione di limite. Bel problema perché a intuizione non mi trovo più: io seleziono un primo raggio di controllo $epsilon$ ma poi verifico che la funzione rispetta in fin dei conti: $|f(x) - l| <k*\varepsilon $, quindi stà in un raggio più grande di quello iniziale. E perché questo dovrebbe essere un limite? A me sembra uscire dal primo intorno, e non mi ci ritrovo minimamente.

Cercando un po' online mi pare di capire che l'idea comune sia questa:
Siccome io ho $forallepsilon$ io posso scegliere $epsilon*k$ da cui discende un $delta_(epsilonk)$ tale per cui $0<|x - x_0|<\delta_(epsilonk) \Rightarrow |f(x) - l| <k*\varepsilon $
in sostanza è come se dicessi:
$forall epsilon, ∃ epsilon*k ∧ k>0 : 0<|x - x_0|<\delta_(epsilonk) \Rightarrow |f(x) - l| <k*\varepsilon $ cioè $forall epsilon*k ∧ k>0 : 0<|x - x_0|<\delta_(epsilonk) \Rightarrow |f(x) - l| <k*\varepsilon $

così mi sembra funzionare perché a priori scelgo $epsilonk=epsilon'$:
$forall epsilon' : 0<|x - x_0|<\delta_(epsilonk) \Rightarrow |f(x) - l| <epsilon' $
, però mi sembra scontrarsi con l'altra lettura della faccenda (che scrivevo all'inizio del messaggio), ossia che se io parto da un $epsilon$ epoi controllo la funzione se si distanza dal valore l per un intorno $epsilonk$ io di fatto sto guardando un valore più grande di raggio e sta cosa mi stona un sacco.

Qualcuno saprebbe aiutarmi?

Da come l'ho interpretata io (in particolare quando dici verso la fine: "Raggio più grande") , sembra che tu ritenga che gli \(\varepsilon\) siano gli stessi in entrambe le situazioni. Non sono gli stessi: è probabilmente questo che ti confonde. In termini intuitivi, devi pensare il tutto in termini di: "Stare in strisce centrate in \(l\) e di semiampiezze arbitrarie".

Quello che molto probabilmente il tuo professore sta dando per scontato è che le definizioni di limite da te riportate sono equivalenti. Ossia, se assumi vera la prima segue la seconda e viceversa.

Per comodità, denoto \(D_a:=\text{dom}(f) \cap \left((x_0-\delta_a,x_0+\delta_a)\setminus\{x_0\}\right)\). Metterò poi degli apici a \(D_a\) che hanno un evidente significato su \(\delta\).

Supponiamo che per ogni \(\varepsilon>0\) esista \(\delta_{\varepsilon}>0\) tale che per ogni \(x\in\mathbb{R}\), se \(x \in \ D_{\varepsilon}\) allora \(|f(x)-l|<\varepsilon\). Fissato \(k>0\), sia ora \(\sigma>0\) arbitrario fissato. Per l'arbitrarietà di \(\varepsilon\), esiste \(\delta_{k\sigma}=:\delta'_{\sigma}>0\) tale che per ogni \(x\in\mathbb{R}\), se \(x \in D_{k\sigma}^{'}\) allora \(|f(x)-l|<k\sigma\). Per l'arbitrarietà di \(\sigma>0\), ciò vale per ogni \(\sigma>0\). Questa è la implicazione destra.

Supponiamo ora esista \(k>0\) tale che che per ogni \(\sigma>0\) esista \(\delta_{\sigma}>0\) tale che per ogni \(x\in\mathbb{R}\), se \(x \in \ D_{\sigma}\) allora \(|f(x)-l|<k\sigma\). Sia ora \(\varepsilon>0\) arbitrario fissato. Per l'arbitrarietà di \(\sigma>0\), esiste \(\delta_{\varepsilon/k}=:\delta''_{\varepsilon}\) tale che per ogni \(x\in\mathbb{R}\), se \(x\in D_{\varepsilon}^{''}\) allora \(|f(x)-l|<k(\varepsilon/k)=\varepsilon\). Per l'arbitrarietà di \(\varepsilon>0\), ciò vale per ogni \(\varepsilon>0\). Questa è la implicazione sinistra.

Grazie per il tuo prezioso aiuto e interesse alla domanda

Sì, credo il dubbio sia proprio lì, in effetti la dimostrazione che porti era quella che idealmente mi ero fatto (nel primo messaggio ho fatto solo l'implicazione =>). Però sebbene la dimostrazione mi sembri tutto sommato filare non riesco a capire perché funzioni intuitivamente (il busillis credo sia quello da te evidenziato che ritengo "fisso" espilon, ma non capisco perché non lo sia). Provo a eviscerare la questione:

Come dicevo abbiamo questa scrittura in molte dimostrazioni:
$\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| <k*\varepsilon $ (1)

L'idea è dimostrare la l'equivalenza con questa (quindi un <=>):

$\forall \varepsilon' > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| <\varepsilon' $ (2)

Arrivo a quella con k a moltiplicare epsilon. Vediamolo esplicitamente:

a scanso di equivoci voglio qui mostrare (2)=>(1): $[\forall \varepsilon' > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| <\varepsilon' ]$ $=>[\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| <k*\varepsilon ]$
l'altra non la svolgo perché non è qui il dubbio

parto da per ogni $epsilon$ di (1), cioè l'antecedente della proposizione (1).
Siccome io ho nella (2) ossia la mia HP $forallepsilon'$, quindi una arbitrarietà, io posso scegliere $epsilon*k=epsilon''$ da cui discende per la (2) un $delta_(epsilonk)$ tale per cui $0<|x - x_0|<\delta_(epsilonk) \Rightarrow |f(x) - l| <k*\varepsilon $
in sostanza è come se dicessi: scelgo $epsilonk=epsilon''$:
$forall epsilon'' : 0<|x - x_0|<\delta_(epsilon'') \Rightarrow |f(x) - l| <epsilon'' $ (e mi sono ricondotto alla definizione di limite) mi pare giusto no? Mi preme capire se ho detto fesserie

(l'altra parte <= è evidente e semplice come questa). Vista così vale il se e solo se e sono a posto.

Però io mi dico anche (e qui sbaglio ma non capisco dove) se io scrivo $\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| <k*\varepsilon $ (**) in teoria in questa proposizione dico "scelto (per ogni) epsilon fissato", quell'epsilon dovrebbe essere fisso fino alla fine nell apropisizione (1) in essere, quindi questa proposizione letta così sembra appunto definire in $|f(x) - l| <k*\varepsilon $ un intorno più grande di quello di controllo epsilon iniziale, perché alla fine ho $epsilon*k$.
E non capisco perché non sia giusta questa lettura, cioè come dedurre da (**) che io posso ristabilire un $epsilon''=epsilon*k$ non so se ho spiegato bene...

nella proposizione dimostrata lo vedo che funziona, però se leggo la (**) a me sembra dire: fissato $epsilon$ mi va bene se trovo un $epsilon''$ più grande per cui f(x)-l cade all'interno e questo è comunque un limite. Ma nell'idea il limite dovrebbe stringersi in un intorno di raggio strettamente più piccolo di epsilon inizialmente scelto.

Per farla breve: la dimostrazione la capisco (se come dicevo nella domanda in grassetto che ti chiedo sopra è corretto) come si fa e mi torna, però mi sembra anche di poter leggere quella proposizione nel modo esplicitato e quindi che quella proposizione ammetta casi in cui l'intorno finale è più grande dell'espilon scelto. E non capisco perché non sia giusto leggerla così. Il dubbio quindi non è tanto dimostrativo ma di interpretazione di quella proposizione e non riesco proprio a capire perché sia errata.

ho corretto alcune cose, la versione attuale 14.33 dovrebbe essere ok , spero non avrai letto le precedenti

Forse non ti sto seguendo, dimmi se ho interpretato male il tuo dubbio e provo a rileggere quando ho un po' più di tempo: non mi torna questo dubbio sull'intorno "più grande" (come si suol intendere in senso insiemistico, quindi col significato di contenente). Non è necessariamente "più grande": ad esempio, se \(0<k<1\) (che è possibile, visto che \(k>0\)), allora quando \(\varepsilon>0\) è \(k \varepsilon < \varepsilon\). Questa evenienza si riadatta, di volta in volta, grazie al fatto che stiamo lavorando con quantità generiche. Fammi sapere se sono stato d'aiuto, altrimenti dimmi pure se ho frainteso!

Comunque, la parte in grassetto secondo me è corretta (anche se mi sa che intendevi \(\varepsilon'\) a destra in \(k\varepsilon=\varepsilon ''\)).

In realtà mi piacerebbe chiederti due cose:
a) la prima è se la dimostrazione che facevo andasse bene (quella per =>), mi interessava capirlo per prendere un po' di destrezza con questi procedimenti. Se avrai tempo e voglia di darci un occhio

Per non farti leggere tutto il papirazzo metto qui il punto:

b) la seconda questione era quella degli intorni, quello che dici l'ho capito ed è vero, ma proprio perché k arbitrario mettiamo sia k>1 da qui in poi, così tagliamo la testa al toro. Il punto dubbio rimane.
Come dicevo, a livello dimostrativo (ammesso e non concesso che ho fatto bene il punto a per cui attendo conferma) mi torna, io ho capito che:
$[\forall \varepsilon' > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| <\varepsilon' ]$ $<=>[\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| <k*\varepsilon ]$ è dimostrato ed è così non ci sono dubbi.

Il mio problema è proprio nel leggere la proposizione: $\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| <k*\varepsilon $, io la leggo così: fissiamo un epsilon, troviamo un relativo delta per cui se vale $\quad 0<|x - x_0|<\delta$ allora $|f(x) - l| <k*\varepsilon$ e questo rispetta (comunque) la definizione di limite, ma per quanto spiego a seguire non capisco perché lo rispetti, vediamo... a livello intuitivo io mi prendo il mio bel grafico e prendo sulle ordinate un epsilon, traccio le parallele alle ascisse finche intersecano il grafico della funzione e le porto sulle ascisse scendendo parallelamente all'asse y, questo mi determina un delta di controllo relativo a quell'epsilon. Fatto ciò, seguendo quella proposizione, prendo un punto x interno a quell'intorno e torno sulle y, ora la magagna: la definizione qui data sembra dire che se la f(x) corrispondente alla x scelta nell'intorno di raggio delta ha valore $|f(x) - l| <k*\varepsilon$ allora vale la definizione di limite. Ma questo non dovrebbe essere vero, perché ora dispongo di un intorno più grande di raggio $k*\varepsilon$ rispetto a quelli iniziale. Insomma, il mio dubbio gigante è che leggendo quella proposizione mi sembra fissare una epsilon iniziale sulle y, e poi terminare con una espilon più grande pari a $k*\varepsilon$, cioè perdo la potenza di avere il controllo tramite l'intorno di raggio epsilon.

La (a) è corretta secondo me: scrivila meglio, però. Rivedi la mia prima risposta.

(b) Provo a spiegarmi meglio: la proposizione che vuoi dimostrare tu è un'altra. È:\[
\left[\forall \varepsilon>0 \ \exists \delta_{\varepsilon} > 0 \ \forall x \in \mathbb{R} \ \left(x \in D_{\varepsilon}\right) \implies \left(|f(x)-l|<k\varepsilon\right) \right]
\]
\[
\implies \left[\forall \varepsilon'>0 \ \exists \delta_{\varepsilon'} > 0 \ \forall x \in \mathbb{R} \ \left(x \in D_{\varepsilon'}\right) \implies \left(|f(x)-l|<\varepsilon'\right) \right]
\]
Quindi, l'interpretazione geometrica è la seguente: "Se per un opportuno \(\delta_\varepsilon\) stai in una striscia di semiampiezza verticale \(k\varepsilon\) per ogni \(\varepsilon>0\), allora per un altro opportuno \(\delta_{\varepsilon'}\) stai in ogni striscia di semiampiezza verticale \(\varepsilon'\)". Mi sembra che la tua interpretazione geometrica sia errata, perché è corrispondente a un'interpretazione del tipo: "Se per un opportuno \(\delta_\varepsilon\) sto in ogni striscia di semiampiezza \(k\varepsilon\), allora per un altro opportuno \(\delta_{\varepsilon'}\) sto in ogni striscia di semiampiezza \(\varepsilon'\)". Se ho interpretato correttamente la tua interpretazione geometrica, sono d'accordo che non ti torna con l'intuito: infatti, se leggi queste due frasi messe tra virgolette ti accorgi che sono due cose diverse. Invece, la proposizione ti dice che tu se stai in una striscia di semiampiezza \(k\varepsilon>0\) per ogni \(\varepsilon>0\), stai in ogni striscia di semiampiezza \(\varepsilon'\). Il motivo (che è poi la dimostrazione) è che, in virtù di questa arbitrarietà su \(\varepsilon>0\), puoi prendere \(\varepsilon>0\) sufficientemente piccolo da rendere irrilevante quel fattore \(k\) moltiplicativo e far collassare quindi tutto in una striscia di semiampiezza \(\varepsilon'>0\) con \(\varepsilon'>0\) prefissato arbitrario. Torna ora? In sostanza, tu fissi una soglia \(\varepsilon'>0\) ma, dato che per ipotesi stai sotto la soglia \(k\varepsilon>0\) per ogni \(\varepsilon>0\), sfrutti l'arbitrarietà di \(\varepsilon>0\) per rendere \(k\varepsilon<\varepsilon'\): qui non c'è alcun prefissato \(\varepsilon>0\), bensì c'è un prefissato \(\varepsilon'\) corrispondente alla conseguente dell'implicazione suddetta:

Mephlip ha scritto:\[
\left[\forall \varepsilon>0 \ \exists \delta_{\varepsilon} > 0 \ \forall x \in \mathbb{R} \ \left(x \in D_{\varepsilon}\right) \implies \left(|f(x)-l|<k\varepsilon\right) \right]
\]
\[
\implies \left[\forall \varepsilon'>0 \ \exists \delta_{\varepsilon'} > 0 \ \forall x \in \mathbb{R} \ \left(x \in D_{\varepsilon'}\right) \implies \left(|f(x)-l|<\varepsilon'\right) \right]
\]

Spero di aver individuato il dubbio stavolta.

gandolfo_m ha scritto:
In principio è la arcinota
$\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| <\varepsilon $

Io l'ho sempre letta così: fisso un epsilon, dato un tale epsilon io trovo di conseguenza un delta, noto questo fissato epsilon e delta cioè che faccio è controllare se $x-x_0$ risulta dentro al raggio delta e se cio' implica che $|f(x) - l|$ è minore del raggio iniziale sono a cavallo e ho la definizione di limite verificata.

Tutto bello e idilliaco finché mi scontro con una dimostrazione in cui si arriva a:
$\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| <k*\varepsilon $, sia k>0 in tal caso.

Ecco, quel k mi manda in crisi: perché ora la definizione par essere, fisso un epsilon, dato un tale epsilon io trovo di conseguenza un delta, noto questo fissato epsilon e delta cioè che faccio è controllare se $x-x_0$ risulta dentro al raggio delta e se cio' implica che $|f(x) - l|$ è minore del raggio moltiplicato per una costante k anche qusto verifica la definizione di limite. Bel problema perché a intuizione non mi trovo più: io seleziono un primo raggio di controllo $epsilon$ ma poi verifico che la funzione rispetta in fin dei conti: $|f(x) - l| <k*\varepsilon $, quindi stà in un raggio più grande di quello iniziale. E perché questo dovrebbe essere un limite? A me sembra uscire dal primo intorno, e non mi ci ritrovo minimamente.

Provo a spiegarlo in maniera intuitivo-maccheronica, visto che quello che chiedi è l'intuizione. Se ho ben capito quello che dici, perché non sono riuscita a seguire tutta la discussione

Mi sembra che dai per scondato che il $\delta$ che consideri in corrispondenza del dato $\epsilon$ sia uguale nel primo e nel secondo caso, e non ti trovi.
No, possono essere due $\delta$ diversi.

Le due formulazioni sono formalmente diverse, questo è vero, nella prima vedi $\epsilon$ all'inizio e alla fine, nella seconda vedi $\epsilon$ all'inizio e $\k\epsilon$ alla fine: come ti ha detto Mephlip sono equivalenti.
Ma questo non significa che puoi 'trasportare' lo stesso $\delta$ dall'una all'altra, e anche questo lo vedi nella precedente risposta di Mephlip.

A esempio, se $k=3$, il secondo $\delta$ che scegli può essere maggiore, $x$ può stare più lontano da $x_0$, poiché richiediamo che $f(x)$ sia più lontano ($3\epsilon$ in vece di $\epsilon$) da $l$.

Ad essere meno maccheronici: secondo me un modo che può chiarire la questione intuitivamente è considerare la definizione di limite tramite gli intorni (scordiamoci al momento $\epsilon$ e $\delta$, che sono stati creati per torturare gli studenti ¹), puoi vedere anche https://it.wikipedia.org/wiki/Limite_di_una_funzione oppure https://www.dima.unige.it/~devito/Mat_A ... zioni3.pdf.

Definizione di limite con gli intorni. Data una funzione $f$ definita in $A$ bla bla bla...... si dice che $l$ è
limite di $f$ per $x$ che tende a $x_0$ se per ogni intorno $V$ di $l$ esiste un intorno $U$ di $x_0$ tale che
$x\in U\cap A, x≠ x_0 \Rightarrow f(x)\in V$.

La definizione con gli intorni e quella con $\epsilon-\delta$ sono equivalenti (parliamo ora di $\mathbb{R}$, ovviamente), ma in quella con gli intorni vedi che possono essere intorni quasiasi.
Non solo non c'è necessariamente un $\epsilon$ tale e quale (senza $k$) all'inizio e alla fine della definizione, ma gli intorni non devono nemmeno essere intervalli simmetrici rispetto a $x_0$ o $l$, possono essere qualsiasi: un intorno di un punto $x$ in $\mathbb{R}$ (con la distanza consueta del valore assoluto) è semplicemente un qualsiasi intervallo aperto $(a,b)$ che contiene $x$, non è che $x$ deve stare al centro.

È sufficiente intuitivamente questa idea di 'vicinanza' (espressa topologicamente con la nozione di intorno, senza aggrovigliarsi negli $\epsilon$ e nei $\delta$): se $x$ è 'abbastanza vicino' a $x_0$, allora $f(x)$ è 'abbastanza vicino' a $l$.

Le tue formulazioni con $\epsilon$ e $k\epsilon$ li puoi vedere come casi particolari di questa definizione con gli intorni.

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Grazie mille ad etrambi:

@gabriella: grazie per la tua visione più ampia che credo di aver capito bene con la tua spiegazione assieme al pdf di dima. Molto chiaro e interessantissima come visione superiore di questi concetti.

@mephlip: quello che scrivi mi sembra coerente e il punto dubbio risiede proprio in queste cose. le formule da te scritte reinterpretate in modo intuitivo/geometrico mi sono chiare però mi sembrano i passi della dimostrazione. Intendo dire che la proposizione da te scritta in formule è proprio una delle due implicazioni.

Direi che ormai ci siamo quasi sul dubbio ma credo di aver peccato in chiarezza oppure è talmente stupido che non riesco bene a farlo capire, ma credo sia solo un problema di leggere la proposizione logica in via geometrica.
PEr spiegarmi meglio provo a usare la classica definizione e poi usare la scrittura che mi crea il dubbio:

1) definizione di limite e interpretazione classica
$\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| <\varepsilon $
fin dalle superiori viene esposta la lettura di questa proposizione logico/matematica come:
per ogni epsilon, quindi fisso una epsilon sulle ordinate, si proietta questo intorno sulla funzione con due righe e si tirano giù sulle ascisse nei punti di intersezione con la funzione, queste due rette verticali mi danno un possibile delta (dell'esiste un delta) che dipende da epsilon scelto. poi, in questo intorno di raggio delta scelgo una x, riproietto tale punto x in su sulla funzione e dal punto di intersezione tra la retta verticale e la funzione traccio una retta parallela alle x e la porto su y (ho così f(x)) e cosa succede? beh succede che la f(x) la trovo dentro l'intorno con la epsilon iniziale e quindi questo disegno verifica l'implicazione: è un limite.
Questa è la riscrittura geometrica di quella proposizione logica.



2) seconda formula che non riesco a capire graficamente
$\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| <k*\varepsilon $
Mi chiedo: come leggo geometricamente 'sta cosa? Mi rispondo: beh si fa il verso a quanto sopra e sfrutto lo stesso procedimento:
per ogni epsilon, quindi fisso una epsilon sulle ordinate, si proietta questo intorno sulla funzione con due righe e si tirano giù sulle ascisse nei punti di intersezione con la funzione, queste due rette verticali mi danno un $delta_epsilon$ (io so che esiste un delta e scelgo questo particolare). Poi, in questo intorno di raggio delta scelgo una x, riproietto tale punto x in su sulla funzione e dal punto di intersezione tra la retta verticale e la funzione traccio una retta parallela alle x e la porto su y (ho così f(x)). A questo punto mi manca di leggere la parte $\Rightarrow |f(x) - l| <k*\varepsilon $ della proposizione, essa cosa dice? ci dice che se trovo f(x) anche oltre l'epsilon iniziale mi va comunque bene e rispetta l'implicazione a patto che sia "non oltre" $k epsilon$ in valori. (sono in una situazione del genere:)

E qui mi dico ohibò ma questo non rispetta più la definizione 1).
Insomma, la lettura geometrica che rispetta l'implicazione 2) (perché è dentro il raggio $k epsilon$ la f(x)) sembra non rispettare più la definizione 1) essendo oltre epsilon e quindi non è un limite. E qui la mia intuizione vacilla

Più chiara la mia idiozia?
grazie ragazzi!

Prego! Secondo me stai confondendo cosa significa dimostrare che vale la definizione di limite con cosa significa invece che essa è vera per ipotesi. Per dimostrare che vale la definizione di limite (ma anche qualsiasi proposizione comprenda un quantificatore universale), si procede come dici tu: si considera un \(\varepsilon>0\) generico prefissato e si mostra l'esistenza di \(\delta_\varepsilon>0\) tale che eccetera. Ma se tu la definizione di di limite la prendi per vera (come in questo caso, riguarda il box in cui mi cito da solo: l'antecedente è tutta la definizione di limite che si assume vera per ipotesi) non devi seguire quel tipo di struttura logica su \(\varepsilon\) ma devi seguirla solo su \(\varepsilon'\) perché è solo quest'ultimo quello che hai prefissato prima e per il quale vuoi trovare in in corrispondenza un \(\delta'\). Poi, dall'ipotesi sai che puoi usare la definizione di limite con \(k\varepsilon\) per ogni \(\varepsilon>0\); quindi, relativamente a tale definizione, non devi prefissare nulla e trovare nulla in corrispondenza. Tu ora sai che la definizione con \(k\varepsilon\) è vera, quindi sai che hai libertà su quel quantificatore universale e da ciò dedurre (stavolta prefissando \(\varepsilon'>0\) che vale la definizione con \(\varepsilon'\): se torni su alla mia prima risposta, vedi che faccio esattamente questo.

Se ti è chiaro questo fatto, ti sarà chiaro che puoi rifare lo stesso disegno, ma con anche con le rette orizzontali \(l-\varepsilon'\) ed \(l+\varepsilon'\) e, nel caso particolare \(\varepsilon=\varepsilon'/(2k\)), ti accorgi subito che funziona perché ti trovi nella striscia di semiampiezza \(\varepsilon'/2\) e quindi, in particolare, in quella di semiampiezza \(\varepsilon'\).