Dubbi su convergenza di serie numeriche con parametro ed esponenziali
Inviato: 12/05/2024, 20:11Buonasera a tutti, da quando ho iniziato il corso di Analisi 1 ho sempre avuto molti dubbi su esercizi riguardanti le serie numeriche, in particolare quelle contenenti il parametro e la presenza di esponenziali.
Da ciò che ho capito per questa tipologia di esercizi in cui compare il parametro alla base degli esponenziali , esempio:
Studiare il carattere della seguente serie al variare del parametro x appartenente ad $RR$ : $\sum_{n=1}^infty x^n/(2+x^n)$ o anche ad esempio $RR$ : $\sum_{n=1}^infty (1+x^n)^(1/2) /x^n$. I I passi da fare sono: Lavorare sulla serie con x in modulo,cercare di analizzare il carattere generale della serie nei vari casi del modulo (se <1 >1 o =1) e capire se potrebbe esserci una possibile convergenza verificando se rispettata la condizione necessaria. Poi per i valori per i quali è rispettata, dimostrare la convergenza mediante equivalenze asintotiche o applicando il criterio della radice o rapporto . Giusto? Se ciò che ho detto è corretto i miei dubbi a riguardo sono : Perchè consideriamo x in modulo? Considerando che x varia in R potrebbe assumere anche valori negativi, ma considerando che l'esponenziale ammette solo basi positive il parametro negativo (base) sarebbe da considerarsi come un esponenziale (con base positiva ) ma con segno meno davanti e dunque come il simmetrico rispetto all'asse delle ascisse giusto? Questo giustificherebbe anche il fatto poi che nell'analizzare il carattere generale della serie (cioè capire quando diventa infinitesimo o infinito al tendere di x -> infinito) andiamo a distinguere i casi del modulo |x|>1 o |x|<1 e non soltanto x compreso tra 0 e 1 (come farei se avessi ad esempio un esponenziale con base positiva e segno positivo) , perchè stiamo considerando appunto i diversi comportamenti sia per l'esponenziale con segno positivo, sia per il suo simmetrico ? Infine, dato che il criterio della radice viene applicato in convergenza assoluta, le informazioni che ci da sono da ritenersi valide soltanto per la convergenza , in quanto la convergenza assoluta implica anche quella semplice, e quindi sarebbe errato considerare valide anche per la convergenza le informazioni che ci fornisce. Spero di essermi spiegato bene ed esser riuscito a trasmettere i miei dubbi a riguardo, attendo un vostro feedback! Grazie
Da ciò che ho capito per questa tipologia di esercizi in cui compare il parametro alla base degli esponenziali , esempio:
Studiare il carattere della seguente serie al variare del parametro x appartenente ad $RR$ : $\sum_{n=1}^infty x^n/(2+x^n)$ o anche ad esempio $RR$ : $\sum_{n=1}^infty (1+x^n)^(1/2) /x^n$. I I passi da fare sono: Lavorare sulla serie con x in modulo,cercare di analizzare il carattere generale della serie nei vari casi del modulo (se <1 >1 o =1) e capire se potrebbe esserci una possibile convergenza verificando se rispettata la condizione necessaria. Poi per i valori per i quali è rispettata, dimostrare la convergenza mediante equivalenze asintotiche o applicando il criterio della radice o rapporto . Giusto? Se ciò che ho detto è corretto i miei dubbi a riguardo sono : Perchè consideriamo x in modulo? Considerando che x varia in R potrebbe assumere anche valori negativi, ma considerando che l'esponenziale ammette solo basi positive il parametro negativo (base) sarebbe da considerarsi come un esponenziale (con base positiva ) ma con segno meno davanti e dunque come il simmetrico rispetto all'asse delle ascisse giusto? Questo giustificherebbe anche il fatto poi che nell'analizzare il carattere generale della serie (cioè capire quando diventa infinitesimo o infinito al tendere di x -> infinito) andiamo a distinguere i casi del modulo |x|>1 o |x|<1 e non soltanto x compreso tra 0 e 1 (come farei se avessi ad esempio un esponenziale con base positiva e segno positivo) , perchè stiamo considerando appunto i diversi comportamenti sia per l'esponenziale con segno positivo, sia per il suo simmetrico ? Infine, dato che il criterio della radice viene applicato in convergenza assoluta, le informazioni che ci da sono da ritenersi valide soltanto per la convergenza , in quanto la convergenza assoluta implica anche quella semplice, e quindi sarebbe errato considerare valide anche per la convergenza le informazioni che ci fornisce. Spero di essermi spiegato bene ed esser riuscito a trasmettere i miei dubbi a riguardo, attendo un vostro feedback! Grazie
